Diophante D1840 Cocyclicité à répétition
Q1 Considérons le quadrilatère TUVW dont les sommets sont les pieds des perpendiculaires abaissées de D sur les côtés du quadrilatère ABEC. A, T, D et W étant cocycliques (angles droits en T et W), TWD = TAD = BAD est
complémentaire de DBA. C, W, D et V étant cocycliques, DWV = DCV = DCE est complémentaire de CED. B, U, D et T étant cocycliques, DBA = DBT = DUT. E, V, D et U étant cocycliques, CED = VED = VUD. TWV = TWD + DWV est supplémentaire de DBA + CED = DUT + VUD = VUT. T, U, V et W sont cocycliques.
Les points symétriques de D par rapport aux côtés du quadrilatère ABEC sont cocycliques car chacun de ces points est l’image d’un sommet du quadrilatère TUVW par l’homothétie de centre D et de rapport 2.
Q2 Prenons pour repère orthonormé celui de centre D, d’axes les droites (DC) et (DA). En partant de A(0, a), B(-b, 0) et C(g, 0), nous obtenons les coordonnées suivantes : P(-b/3, a/3), Q(g/3,a/3), X((g-b)/4, a/4) et R((g-b)/3 , 0). Les tangentes des angles DPQ et DRQ sont toutes deux égales à (a/3) / (b/3). DPQ = DRQ.
D, P, Q et R sont cocycliques.
Q3 Les centres des cercles sont déterminés par les médiatrices des segments reliant G à A, K, B, I, C et J. Ces droites forment trois paires de droites parallèles (par exemple, (AGJ, AGK) et (BGI,CGI)), chaque direction étant perpendiculaire à une médiane du triangle. Considérons par exemple le trapèze AGJ AGK BGI CGI. La combinaison des
symétries orthogonales (ou des rotations) fait que AGK et BGI sont respectivement les
images de AGJ et CGI par la symétrie orthogonale par rapport à un axe (pointillé orange) passant par les milieux des segments parallèles [AGJ, AGK] et [BGI,CGI], axe lui-même parallèle à la médiane [A,I]. Le trapèze est isocèle donc inscriptible dans un cercle. AGJ, AGK, BGI et CGI sont cocycliques. De même, on montre que AGK, BGK, CGI et CGJ sont
cocycliques. De même enfin, on montre que BGK, BGI, CGJ et AGJ sont cocycliques.
Regroupons les points en trois paires : (AGJ, BGI), (AGK, CGI) et (BGK, CGJ). Chacune est présente dans deux cercles dont elle en constitue l’axe radical. Les trois axes radicaux sont concourants et tous les points sont cocycliques. Le centre du cercle est le point de concours des axes de symétrie des trapèzes.
Les six centres des cercles circonscrits aux triangles AGJ,AGK,BGI,BGK,CGI,CGJ sont sur un même cercle.
Jean-Louis Legrand
