D 1700 Un classique de FvL
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
On note G le centre de gravité du triangle ABC et A', B', C' les milieux de [BC], [CA], [AB].
:
Le centre O du cercle circonscrit à ABC a pour coordonnées :
) c b a ( c
) c b a ( b
) c b a ( a O
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1) Coordonnées du centre I du cercle (AGB')
On note p, q, r les longueurs des côtés [GB'], [B'A], [AG].
Le centre I est barycentre des points A, G, B', avec les coefficients respectifs suivants :
) r q p ( r
) r q p ( q
) r q p ( p
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Le calcul des longueurs des longueurs des médianes est classique :
4 b c 2 a ' 2 BB
4 a c 2 b ' 2 AA
2 2 2 2
2 2 2 2
On en déduit :
9 a c 2 b 2 9
' AA r 4
4 q b
36 b c 2 a 2 9
' p BB
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
Les points A, G, B' ont les coordonnées suivantes, de même somme 6 :
3 0 3 B' 2 2 2 G 0
0 6 A
Les coordonnées de I sont combinaison linéaire de ces colonnes avec les coefficients
On obtient les coordonnées de I :
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
4 4
c b c a 6 b a 3 c 4 b a 2
) c 5 b a ( b
c b 6 c a 6 b a 10 c 2 b 4 a 4 I
Soient J et K les centres des cercles (BGC') et (CGA').
On déduit des coordonnées de I celles de J et K par permutation circulaire de a, b, c et permutation circulaires des coordonnées x, y, z
Soient I', J', K' les centres des cercles (AGC'), (BGA'), (CGB').
On déduit des coordonnées de I celles de I' par échange de b, c et échange des coordonnées y, z.
On déduit des coordonnées de J celles de J' par échange de c, a et échange des coordonnées z, x.
On déduit des coordonnées de K celles de K' par échange de a, b et échange des coordonnées x, y.
2) Point de concours des médiatrices de [II'], [JJ'], [KK']
La médiatrice de [II'] est agréable :
Elle passe par le milieu M de [II'] et le point à l'infini de la médiane (AA')
Les coordonnées de sont:
1 1
2
Les coordonnées de I et I' sont :
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
4 4
c b c a 6 b a 3 c 4 b a 2
) c 5 b a ( b
c b 6 c a 6 b a 10 c 2 b 4 a 4 I
) b 5 c a ( c
c b c a 3 b a 6 c b 4 a 2
c b 6 c a 10 b a 6 c 4 b 2 a 4 I'
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2
2 4
4 4
La somme des coordonnées est la même pour i et I' : 6(abc)(abc)(abc)(abc)
Donc les coordonnées de M s'obtiennent par addition de celles de I et celles de I' :
L'équation de la médiatrice de [II'] est :
avec :
2 2 2
2 2
2 4
4 4
2 2 2
2 2
2 4
4 4
2 2 2 2 4 4
c b 12 c a 116 b
a 13 c 4 b 8 a 6 w
c b 12 c a 13 b a 11 c 8 b 4 a 6 v
c a b a c 2 b 2 u
Les équations des médiatrices de [JJ'] et [KK'] se déduisent de celle de [II'] par permutation circulaire sur a, b, c et sur les coordonnées x, y, z.
La résolution du système donne les coordonnées du point de concours P des trois médiatrices :
2 2 2
2 2
2 4
4 4
2 2 2
2 2
2 4
4 4
2 2 2
2 2
2 4
4 4
c b 13 c a 13 b a 10 c 10 b 4 a 4
c b 13 c a 10 b a 13 c 4 b 10 a 4
c b 10 c a 13 b a 13 c 4 b 4 a 10 P
Les coordonnées de P sont invariantes par permutation circulaire sur a, b, c et sur x, y, z.
Elles sont aussi invariantes par échange de b, c et échange des coordonnées y, z.
Elles sont aussi invariantes par échange de c, a et échange des coordonnées z, x.
Elles sont aussi invariantes par échange de a, b et échange des coordonnées x, y.
On en déduit : PIPJPKPI'PJ'PK'
Les six points I, J, k, I', J', K' sont sur un même cercle de centre P.
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2
2 2
2 4
4 4
c b 6 c a 5 b a 3 c 5 b a 2
c b 6 c a 3 b a 5 c b 5 a 2
c b 12 c a 16 b a 16 c 6 b 6 a 8 M
0 z w y v x u c
b 6 c a 5 b a 3 c 5 b a 2 1
z
c b 6 c a 3 b a 5 c b 5 a 2 1
y
c b 12 c a 16 b a 16 c 6 b 6 a 8 2 x
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2
2 2
2 4
4 4
