D 1836 Au couleurs belges
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
QUESTION 1
1) Parallélisme des droites belges
Les distances des points P, Q, R, S, T, U aux sommets du triangles sont : PA b
PB b c
QA c QC b c
RB c RC a c
SB a SA a c
TC a TA b a
UC b UB b a
On en déduit les coordonnées barycentriques des points P, Q, R, S, T, U :
c b P b
0
b c Q 0
c
0 R a c
c
a S c a
0
a T 0
b a
0 U b
a b
On remarque que la permutation circulaire sur a, b, c et sur les coordonnées x, y, z réalise une permutaton circulaire sur P, R, T et sur U, Q, S, donc sur les droites (PU), (RQ), (TS).
On va chercher les coordonnées du point à l’infini de la droite (PU).
L’équation de (PU) s’écrit :
x c b 0
y b b 0 b(a b)x (b c )(b a)y b(c b)z z 0 a b
L’équation de la droite de l’infini est : x y z 0
En résolvant le système des deux équations, on trouve les cordonnées de :
a(b c ) b(c a) c(a b)
La permutatation circulaire ci-dessus conserve .
Les droites (RQ) et (TS) ont donc aussi le point comme point à l’infini.
Et les trois droites (PU), (RQ), (TS) sont parallèles.
2) Ortthogonalité des droites belges et de la droite (OI)
Les coordonnées de O et I sont :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a( a b c ) O b(a b c )
c(a b c )
a I b c
L’involution canonique de la droite de l’infini transforme un point à l’infini d’une direction de droites en le point à l’infini de la direction orthogoale.
A un point de coordonnées (x, y, z), elle associe le point de cordonnées (x’, y’, z’) telles que :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x ' (a b c )y (a b c )z y ' (a b c )z ( a b c )x z' ( a b c )x (a b c )y
On en déduit les coordonnées de ( ) :
3 3 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2
a(b c b c bc a b a c 2abc ) ( ) b(c a c a ca b c b a 2abc ) c(a b a b ab c a c b 2abc )
On obtient que les points O, I et ( ) sont alignés en vérifiant qu’est nul le déterminant ayant pour colonnes les coordonnées de ces trois points.
La droite (OI) est donc orthogonale aux droites belges.
QUESTION 2
1) Calcul se la distance entre deux points
Soient M et N deux points de coordonnées (u, v, w) et (u’,v’, w’), avec u v w u' v' w' s
Alors : s AM v AB w AC et s AN v ' AB w' AC
Donc s MN y AB z AC avec : y v ' v z w ' w
Et :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ^
2 2 2 2 2 2 2
s MN c y b z 2yz AB AC c y b z 2yz bc cosC c y b z ( a b c )yz
2) Calcul de a distance OI
Les coordonnées de O ont pour somme : S (a b c ) ( a b c )(a b c ) (a b c ) Pour avoir la même somme pour les coordonnées de I, il faut choisir pour I les coordonnées :
a( a b c )(a b c )(a b c ) I b( a b c )(a b c )(a b c ) c ( a b c )(a b c )(a b c )
La formule de 1) donne :
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 abc (a b c 3abc a b ab b c bc c a ca )
OI S
3) Calcul de a distance QR
Pour avoir la même somme ab pour les coordonnées de Q et R, on choisit les coordonnées : a(b c )
Q 0 ac
0
R b(a c ) bc
La formule de 1) donne :
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 c (a b c 3abc a b ab b c bc c a ca )
QR ab
4) Conclusion
L’égalité OI QR équivaut à : S a b 2 2 Soit l’aire du triangle ABC.
La forlule de Héron donne : S 16 2 4 a b sin C2 2 2 L’égalité OI QR équivaut donc à : sinC 1
2 L’angle en C est donc de 30°
( L’angle de 150°est impossible puisque c’est l’angle en B qui est le plus grand )
