Partie 1 : repère du plan, coordonnées

VECTEURS (introduction)

Je maîtrise les différents types de repères.

Je sais lire et placer des points dans un repère donné.

Je connais la définition d’un vecteur.

Je maîtrise les propriétés des vecteurs (propriétés du parallélogramme et du milieu).

Je sais construire un vecteur (sur quadrillage et sur papier blanc).

Je connais la notion de coordonnées de vecteur.

Je sais trouver les coordonnées d’un vecteur à partir de coordonnées de points.

Je sais utiliser la relation de Chasles.

Je maîtrise les opérations sur les vecteurs (somme, produit par un réel, différence).

Carte mentale :

VECTEURS (Introduction)

Ce que je trouve le plus difficile dans ce chapitre :

…

…

Dans ce chapitre, on va aborder la notion de coordonnées dans des repères cartésiens (nommés ainsi en l’honneur de Descartes) et de vecteurs. La géométrie analytique est celle qui utilise les coordonnées des points, des vecteurs, … pour prouver des propriétés géométriques de configurations. Les vecteurs sont très utilisés en sciences, en particulier en physique (forces newtoniennes).

Partie 1 : repère du plan, coordonnées

Pour positionner un point dans un plan il est nécessaire d’avoir deux axes.

Ces axes ont un point origine commun.

Définition : repère du plan

Un repère du plan est donné par trois points non alignés du plan.

Exemple : si 𝑂, 𝐼 et 𝐽 sont trois points du plan non alignés, (𝑂; 𝐼, 𝐽) est un repère du plan où 𝑂 est l’origine commune, 𝐼 et 𝐽 les points unitaires sur chaque axe.

Propriété : coordonnées de plan

Dans un repère (𝑂; 𝐼, 𝐽), tout point 𝑀 du plan est repéré par un unique couple de nombres réels (𝑥_*; 𝑦_*) appelé coordonnées de ce point. 𝑥_* est appelé abscisse du point M et 𝑦_* est appelé ordonnée du point M.

Remarques :

§ Tout point de l’axe des abscisses a pour ordonnée 0 et tout point de l’axe des ordonnées a pour abscisse 0.

§ L’origine du repère 𝑂 a toujours pour coordonnées (0; 0), 𝐼 a pour coordonnées (1; 0) et 𝐽 a pour coordonnées (0; 1).

§ Dans un même repère, deux points qui ont les mêmes coordonnées sont égaux.

Les repères se différencient selon la position de leurs axes et leurs graduations (le choix des unités de mesure) : Repère quelconque

(axes non-perpendiculaires) Repère orthogonal

(axes perpendiculaires) Repère orthonormé

(axes perpendiculaires et mêmes unités)

(𝑂𝐼) ⊥ (𝑂𝐽) (𝑂𝐼) ⊥ (𝑂𝐽)

𝑂𝐼 = 𝑂𝐽

Partie 2 : vecteurs

a) Translation :

Exemple : une translation est un glissement :

- avec une direction donnée : le câble du téléphérique, la droite (AB) ; - avec un sens donné : le téléphérique monte de A vers B ;

- avec une longueur donnée : 80m, la longueur AB.

On dit que le téléphérique T’ est l’image du téléphérique T par la translation qui transforme A en B.

Définition : translation

Soient 𝑃 et 𝑃’ deux points distincts du plan.

On appelle translation qui envoie 𝑃 sur 𝑃’ la transformation dont l’image !

’

§ selon la direction de la droite (PP’),

§ dans le sens de P vers P’,

§ d’une longueur égale à PP’.

b) Vecteurs : Définition : vecteurs

Soit t la translation qui envoie A sur A’, B sur B’ et C sur C’. Les couples de points (A ; A’), (B ; B’) et (C ; C’) définissent un vecteur caractérisé par :

§ une direction : celle de la droite (AA’) ;

§ un sens : de A vers A’ ;

§ une longueur : la longueur AA’.

On note 𝑢3⃗ ce vecteur et on écrit : 𝑢3⃗ = 𝐴𝐴′333333⃗. On dit que 𝐴𝐴′333333⃗ est un représentant de 𝑢3⃗.

𝐵𝐵′3333333⃗ et 𝐶𝐶′333333⃗ sont également des représentants de 𝑢3⃗.

Remarque : la longueur d’un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur.

c) Egalité de vecteurs : Définition : vecteurs égaux

Les vecteurs 𝐴𝐵33333⃗ et 𝐶𝐷33333⃗ sont égaux lorsqu’ils ont même direction, sens et longueur. On note : 𝐴𝐵33333⃗ = 𝐶𝐷33333⃗

Exemple : ci-contre, on peut poser : 𝑢3⃗ = 𝐴𝐵33333⃗ = 𝐶𝐷33333⃗. 𝐴𝐵33333⃗ et 𝐶𝐷33333⃗ sont des représentants du vecteur 𝑢3⃗.

P

F

F’

00 :05 : définition (translation) 02 :50 : égalité de deux vecteurs 03 :11 : propriété du parallélogramme 03 :57 : propriété du milieu 04 :25 : vecteur nul 04 :46 : vecteurs opposés 05 :06 : coordonnées d’un vecteur 06 :38 : propriétés algébriques

Propriété : propriété du parallélogramme

Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts.

𝐴𝐵33333⃗ = 𝐶𝐷33333⃗

si et seulement si

𝐴𝐵𝑫𝑪 est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Propriété : propriété du milieu

𝐵 est le milieu du segment [𝐴𝐶]

si et seulement si 𝐴𝐵33333⃗ = 𝐵𝐶33333⃗

d) Vecteur nul et vecteurs opposés : Définition : vecteur nul

Un vecteur 𝐴𝐵33333⃗ est nul lorsque les points A et B sont confondus. On note : 𝐴𝐵33333⃗ = 03⃗

Remarque : pour tout point M, on a : 𝑀𝑀3333333⃗ = 03⃗.

Définition : vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même longueur et qu’ils sont de sens contraire.

Attention : Il ne faut pas confondre sens et direction !

Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB).

Cependant une direction possède deux sens, ici de « A vers B » ou de « B vers A ».

Remarque : 𝐴𝐵33333⃗ et 𝐵𝐴33333⃗ sont des vecteurs opposés.

On note 𝐵𝐴33333⃗ = −𝐴𝐵33333⃗.

e) Tracé de vecteurs : On peut les construire :

§ à l’aide du quadrillage.

§ sur papier blanc, avec la règle et le compas.

Partie 3 : coordonnées d’un vecteur

A partir de maintenant on pourra noter (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) le repère (𝑂; 𝐼, 𝐽) avec 𝚤⃗ = 𝑂𝐼3333⃗ et 𝚥⃗ = 𝑂𝐽3333⃗. Définition : coordonnées d’un vecteur

Soit M un point quelconque d’un repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) et un vecteur 𝑢3⃗ tel que : 𝑂𝑀333333⃗ = 𝑢3⃗.

Les coordonnées du vecteur 𝑢3⃗ sont les coordonnées du point 𝑀.

Si 𝑀(𝑥 ; 𝑦), on note : 𝑢3⃗(𝑥 ; 𝑦)ou 𝑢3⃗ B𝑥 𝑦C.

B C A

Propriétés : opérations sur les coordonnées

Soient 𝑢3⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs de coordonnées (𝑥; 𝑦) et (𝑥’; 𝑦’) dans un repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗) et un réel 𝑘.

§ 𝑢3⃗ = 𝑣⃗ équivaut à 𝑥 = 𝑥’ et 𝑦 = 𝑦’.

§ Le vecteur 𝑢3⃗ + 𝑣⃗ a pour coordonnées (𝑥 + 𝑥^H; 𝑦 + 𝑦^H).

§ Le vecteur 𝑘𝑢3⃗ a pour coordonnées (𝑘𝑥; 𝑘𝑦).

Remarque : si 𝑢3⃗ a pour coordonnées (𝑥; 𝑦) alors −𝑢3⃗ a pour coordonnées(−𝑥; −𝑦).

Propriété : formule des coordonnées d’un vecteur

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points de coordonnées (𝑥_I; 𝑦_I) et (𝑥_J; 𝑦_J) dans un repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗).

Le vecteur 𝐴𝐵33333⃗ a pour coordonnées B𝑥_J− 𝑥_I 𝑦_J− 𝑦_IC

Exemples : soient 𝐶(5; −1) et 𝐷(−2; 4) deux points et 𝑢3⃗ B−16 C u nvecteur dans un repère.

§ Coordonnées de 𝐶𝐷33333⃗ : 𝐶𝐷33333⃗ B𝑥_O− 𝑥_P

𝑦_O− 𝑦_PC donc 𝐶𝐷33333⃗ Q −2 − 54 − (−1)R d’où 𝐶𝐷33333⃗ B−75 C.

§ Coordonnées de 𝐶𝐷33333⃗ + 𝑢3⃗ : 𝐶𝐷33333⃗ + 𝑢3⃗ B−7 + (−1)5 + 6 C donc 𝐶𝐷33333⃗ + 𝑢3⃗ B−811C

§ Coordonnées de 3𝑢3⃗ et de 𝐷𝐶33333⃗ : 3𝑢3⃗ B3 × (−1)3 × 6 C donc 3𝑢3⃗ B−318C ; 𝐷𝐶33333⃗ = −𝐶𝐷33333⃗ B−(−7)

−5 C donc et 𝐷𝐶33333⃗ B 7−5C

Partie 4 : opérations sur les vecteurs

a) Somme de vecteurs :

Propriété : composée de deux translations

La composée (ou l’enchaînement) de deux translations est une translation

Définition : vecteur somme

On appelle somme des vecteurs 𝑢3⃗ et 𝑣⃗, notée 𝑢3⃗ + 𝑣⃗, le vecteur associé à la translation de vecteur 𝑢3⃗

suivie de la translation de vecteur 𝑣⃗.

Propriétés : opérations sur les vecteurs Pour tous vecteurs 𝑢3⃗, 𝑣⃗ et 𝑤33⃗, on a :

• 𝑢3⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢3⃗ (la somme est commutative).

• (𝑢3⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤33⃗ = 𝑢3⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤33⃗) = 𝑢3⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤33⃗

• 𝑢3⃗ + (−𝑢3⃗) = 03⃗ (la somme d’un vecteur et de son opposé est le vecteur nul)

• 𝑢3⃗ + 03⃗ = 𝑢3⃗

Remarque : 𝐴𝐵33333⃗ + 𝐴𝐶33333⃗ = 03⃗ si et seulement si 𝐴 est le milieu du segment [𝐵𝐶].

07 :46 : somme de deux vecteurs 09 :27 : relation de Chasles 10 :19 : différence de deux vecteurs

Relation de Chasles :

Propriété : relation de Chasles

Pour tous points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 du plan, on a 𝐴𝐵33333⃗ + 𝐵𝐶33333⃗ = 𝐴𝐶33333⃗

Autrement dit : l’enchaînement de la translation de vecteur 𝐴𝐵33333⃗ puis de la translation de vecteur 𝐵𝐶33333⃗ est la translation de vecteur 𝐴𝐶33333⃗.

Remarques :

1) Ici, le point 𝐵 est à la fois l’extrémité de 𝐴𝑩333333⃗ et l’origine de 𝑩𝐶33333⃗.

2) Attention : l’égalité vectorielle n’implique pas l’égalité des longueurs : en effet : 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ≥ 𝐴𝐶.

3) Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, on a également les relations : 𝐴𝐵33333⃗ = 𝐴𝐶33333⃗ + 𝐶𝐵33333⃗ et 𝐵𝐶33333⃗ = 𝐵𝐴33333⃗ + 𝐴𝐶33333⃗

b) Conséquence :

Propriété : propriété caractéristique du parallélogramme ABCD est un parallélogramme si et seulement si 𝐴𝐶33333⃗ = 𝐴𝐵33333⃗ + 𝐴𝐷33333⃗

c) Différence de vecteurs : Définition : vecteur différence

Le vecteur 𝑢3⃗ − 𝑣⃗ est défini par 𝑢3⃗ − 𝑣⃗ = 𝑢3⃗ + (−𝑣⃗) ce qui signifie que soustraire un vecteur, c’est additionner son opposé.

d) Produit d’un vecteur par un réel 𝒌.

Définition : produit d’un vecteur par un réel

Soit 𝑢3⃗ un vecteur non-nul et 𝑘 un nombre réel non-nul, alors le vecteur 𝑘𝑢3⃗, résultant de la multiplication de 𝑢3⃗

par 𝑘, est définie par :

• Sa direction : la même que celle de 𝑢3⃗.

• Son sens : celui de 𝑢3⃗ si 𝑘 > 0, l’opposé de celui de 𝑢3⃗ si 𝑘 < 0.

• Sa norme : ‖𝑘𝑢3⃗‖ = ^ 𝑘 × ‖𝑢3⃗‖ 𝑠𝑖 𝑘 > 0

−𝑘 × ‖𝑢3⃗‖ 𝑠𝑖 𝑘 < 0

Exemple : à partir de 𝑢3⃗, on représente les deux vecteurs ^a_b𝑢3⃗ et −2𝑢3⃗.

Remarque : si 𝑘 = 0 ou si 𝑢3⃗ = 03⃗, alors 𝑘𝑢3⃗ = 03⃗.

B

A

C

D