1S : tm 5 Correction W maison 5 2015-2016
EXERCICE 1 :
Dans un repère orthonormé (O; − → i ; − → j ), E est l’ensemble des points M de coordonnées (x; y) tels que
| x | + | y | = 1
• Éliminons d’emblée les cas particuliers :
⊲ O n’appartient pas à E , en effet 0 + 0 6 = 1 ;
⊲ x = 0 ⇒ y = ± 1 donc (0; 1) et (0; − 1) sont des points de E ;
⊲ y = 0 ⇒ x = ± 1 donc (1; 0) et ( − 1; 0) sont des points de E ;
• x > 0 et y > 0 (C
1) : dans ces conditions, | x | + | y | = 1 ⇔ x + y = 1 (1). Les points dont les coordonnées vérifient la relation (1) et la condition (C
1) sont situés sur un segment « porté » par la droite d’équation x + y = 1 (c’est le segment reliant (0; 1) et (1; 0)) ;
• x > 0 et y < 0 (C
2) : dans ces conditions, | x | + | y | = 1 ⇔ x − y = 1 (2). Les points dont les coordonnées vérifient la relation (2) et la condition (C
2) sont situés sur un segment « porté » par la droite d’équation x − y = 1 (c’est le segment reliant (0; − 1) et (1; 0)) ;
• x < 0 et y < 0 (C
3) : dans ces conditions, | x | + | y | = 1 ⇔ − x − y = 1 (3). Les points dont les coordonnées vérifient la relation (3) et la condition (C
3) sont situés sur un segment « porté » par la droite d’équation − x − y = 1 (c’est le segment reliant (0; − 1) et ( − 1; 0)) ;
• x < 0 et y > 0 (C
4) : dans ces conditions, | x | + | y | = 1 ⇔ − x+ y = 1 (4). Les points dont les coordonnées vérifient la relation (4) et la condition (C
4) sont situés sur un segment « porté » par la droite d’équation − x + y = 1 (c’est le segment reliant (0; 1) et ( − 1; 0)) ;
O ~i
~j
bc bc
bcbc
Finalement,
E est le carré bleu
• • •
My Maths Space 1 / 2
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EXERCICE 2 :
O ~i
~j
bc bcM
A C
Dans un repère orthonormé (O; − → i ; − → j ), C est la courbe représentative de la fonction racine carrée. A est le point de coordonnées (2; 0).
Répondre à la question, c’est minimiser la distance AM lorsque M parcourt la courbe de la fonction racine carrée. (les coordonnées de M s’exprimant M (x; √ x))
L’utilisation du théorème de Pythagore permet d’obtenir AM = √
x
2− 3x + 4 = p u(x).
Commençons par minimiser la fonction u sur [0; + ∞ [ ; à minima, on peut chercher les coordonnées du sommet et donner les variations de u à partir du signe de a, sinon démontrer les variations comme cela a été fait dans la leçon 3.
x Variations
de u
0
32+ ∞
44
7 4 7 4
Ts Ts
Sur [0; + ∞ [, u(x) > 0 donc √
u et u ont les mêmes variations sur cet intervalle. Ainsi x
Variations de √
u
0
32+ ∞
22
q
7 4q
7 4Ts Ts
On constate que √
u admet un minimum en 3
2 qui vaut
√ 7
2 . Ainsi le point M de C
√?le plus proche de A est le point de coordonnées
3 2
; q
3 2
, la distance qui le sépare de A est égale à
√ 7 2 .
• • •
EXERCICE 3 :
La suite de terme général (u
n)
n∈Nest définie par u
0= 3
u
n+1= p 1 + u
2n• u
0= 3 ;
• u
1= p
1 + u
20= √
1 + 3
2= √ 10 ;
• u
2= p
1 + u
21= q 1 + ( √
10)
2= √ 11 ;
• u
3= p
1 + u
22= q 1 + ( √
11)
2= √ 12 ;
• . . .
Il semblerait que la formule explicite définissant u
nsoit
∀ n ∈ N , u
n= √ n + 9
À ce stade, ce n’est qu’une conjecture. Il faut attendre la classe de terminale pour le démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence.
Il repose sur le principe suivant
• On vérifie que la formule « marche » au rang initial (ici 0) √ 0 + 9 = √
9 = 3 et u
0= 3 donc formule vérifiée au rang 0.
• On vérifie que si la formule est vraie au rang n, elle est vérifiée au rang n + 1 (c’est l’étape la plus délicate) u
n=
hypothèse
