Seconde Chapitre 12 : Vecteurs - Coordonnées 2015-2016
On qualifiera deplan l’ensemble des points « de votre feuille », de mon « tableau ».
I Vu dans le chapitre 7
• Définition d’un vecteur : direction, sens et norme ;
• Égalité de vecteurs ;
• Somme de deux vecteurs ;
• Multiplication d’un vecteur par un réel ;
• Colinéarité de deux vecteurs.
II Coordonnées de vecteurs
II.1 Repère
Deux vecteurs non colinéaires et un point du plan définissent un repère. Si les vecteurs sontorthogonaux, le repère est ditorthogonal; si de plus les longueurs (normes) des vecteurs valent 1, le repère est ditorthonormal.
On note un repère de la manière suivante : (O;−→ i;−→
j)
−
→i
−
→j
O bc
II.2 Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Dans un repère (O;−→ i;−→
j), on dit qu’un vecteur −→u a pour coordonnées −→u
a
b
si et seulement si
−
→u =a−→ i +b−→
j
Exemple 1 Déterminer les nombresaetbdans la situation suivante où (O;−→ i;−→
j)est un repère,
−
→i
−
→j
O bc
−
→w
Quelles sont les coordonnées du vecteur−→
w dans(O;−→ i;−→
j)? Quelles sont les coordonnées du pointM dans ce repère ? Exercice 2 page 281.
Dans un repère, si on a les pointsA(xA;yA) etB(xB;yB), alors le vecteur−−→
ABa pour coordonnées
xB−xA yB−yA
Exemple 2 Exercice 3 page 281 (déduction à écrire)
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Seconde Chapitre 12 : Vecteurs - Coordonnées 2015-2016
II.3 Propriétés
Dans un repère(O;−→ i;−→
j) :
• −→
i a pour coordonnées
1
0
et −→
j a pour coordonnées
0
1
• Deux vecteurs sont égauxsi, et seulement si,ils ont les mêmes coordonnées.
• −→u
a
b
et−→v
c
d
alors−→u +−→v
a+c
b+d
• −→u
a
b
etk un nombre réel, le vecteurk−→u a pour coordonnées
ka
kb
En particulier,−−→u a pour coordonnées
−a
−b
Exemple 3 Exercice 5 page 283
II.4 Traduction de la colinéarité
Dans un repère,−→u
a
b
et −→v
c
d
. −→u et−→vsont colinéaires si, et seulement si, ad=bc
Exemple 4 Exercice 6 et 7 page 285
III Exercices
EXERCICE 1 Soient, dans un repère, les pointsA(−1; 2),B(2; 3) etC(3;−1). Construire le point M tel que
−−→AM =−−→ AB+1
2
−→AC
• • •
EXERCICE 2 :
Dans un repère, on donneA(2;−1), B(3; 2),C(−5;−1) et D(0; 7).
1. Déterminer les coordonnées du pointM tel que−−→
AM = 4−−→ AB.
2. Déterminer les coordonnées du pointN tel que −−→
BN=−2−−→
CD+−→
AC.
• • •
EXERCICE 3 :
ABC est un triangle quelconque.I est le milieu de [AB],J est le milieu de [BC] etK celui de [BC]. On note L le milieu de [BI] etP le symétrique deK par rapport àB.
En se plaçant dans le repère (A;−→
AC;−−→
AB), démontrer que les points P, LetJ sont alignés.
On exprimera les coordonnées des différents points de la figure dans le repère choisi et d’utiliser la condition de la colinéarité vue au II.4
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