Correction du devoir n° 7 Coordonnées d’un vecteur 2nde 4
Exercice 1 : ( 5 points ) On a placé ci-contre trois points : A, B, C dans un repère (O ;
→
i ,
→
j ).
1. A( - 2 ; 5 ), B( 3 ; -1 ) C ( 8 ; 3)
→
AB ( 5 ; -6) et
→
BC ( 5 ; 4 ) dans le repère (O ;
→
i ,
→
j ).
2. Soit le point M tel que
→
BM = 3 5
→
BC . 3
5
→
BC ( 3 5x 5 ; 3
5x 4 ) = ( 3 ; 12 5 ) On pose M (x ; y) donc
→
BM ( x-3 ; y – ( -1) ) et comme
→
BM = 3 5
→
BC :
x – 3 = 3 y + 1 = 12
5 soit
x = 6 y = 7 5 . Donc M(6 ; 7
5 ).
.
3. Soit N le point de coordonnées ( 13, -3).
→
CN ( 13 – 8 ; - 3 – 3 ) =( 5 ; -6 ).
Donc
→
CN =
→
AB , ABNC est donc un parallélogramme.
Exercice 2 : ( 7 points ) Dans un repère (O ;
→
i ,
→
j ).
On considère les 5 points A, B, C, D et E, qui permettent de définir les vecteurs suivants :
→
AB
2 1
→
AE
6
3
→
BE
4
2
→
CD
-6 -3
→
AB = 2
→
i +
→
j .
→
u ( x - 1 ; x ) est colinéaire à
→
AB ( 2 ; 1 ) si (x-1) x1 – x x 2 = 0 soit x – 1 – 2x = 0 soit - x = 1 et x = -1.
→
AE = 3
→
AB donc les vecteurs
→
AE et
→
AB sont colinéaires, par suite, les points A, B et E sont alignés.
→
CD = -
→
AE donc les vecteurs
→
AE et
→
CD sont colinéaires, par suite, les droites (AE) et (CD) sont parallèles.
→
AB +
→
AE (2+6 ; 1+3) =( 8 ;3) ;
→
AB -
→
AE ( 2 – 6 ; 1 – 3 ) = ( -4 ; -2) 1
2
→
BE – 2
→
CD ( 1
2x 4 – 2 x (-6) ; 1
2x 2 – 2 x (-3) ) = ( 14 ; 7) Exercice 3 : (8 points)
On considère les points A(-1;4), B(- 4;-2), C(1;0).
1. ABCD soit un parallélogramme donc
→
AB =
→
DC .
→
AB ( xB – xA ; yB – yA ) = ( - 4 + 1 ; -2 – 4 ) =( -3 ; -6 ).
On pose D (x ; y ).
→
DC (xC – xD ; yC – yD ) =( 1 – x ; 0 –y ).
D’où
–3 = 1 – x -6 = - y soit
x = 4
y = 6 donc D ( 4 ; 6 )
2. M est le point d’intersection des diagonales de ABCD donc M est le milieu du segment [AC]
i j O
A
B
C
M N
M (xA + xC
2 ; yA + yC
2 = ( -1 + 1
2 ; 4 + 0
2 ) = ( 0 ; 2 ) 3. Soit E(6;2).
→
BC ( xC – xB ; yC – yB ) = ( 1+4 ; 2 ) = ( 5 ; 2 )
→
CE ( 6 – 1 ; 2 ) = ( 5 ;2 ) donc
→
BC =
→
CE , les vecteurs
→
BC et
→
CE sont colinéaires, par suite, les points B, C et E sont alignés.
4. Soit F(-7;4).
→
BF ( - 7 + 4 ; 4 + 2 ) = ( -3 ; 6 ) et
→
AC ( 2 ; -4 ) Vérifions le critère de colinéarité : x y’ – y x’ = -3 x ( -4 ) - 6x 2 = 0.
Donc les vecteurs
→
BF et
→
AC sont colinéaires, par suite, les droites (BF) et (AC) sont parallèles.
5.
→
AB ( -3 ; -6 ). donc AB² =3² + 6² = 45 et AB = 45
→
BC ( 5 ; 2 ) donc BC² = 5² + 2² = 29 et BC = 29
→
AC ( 2 ; -4 ) donc AC² = 2² + 4² = 20 et AC = 20.
6. Dans le triangle ABC, AB est le côté le plus grand mais 45 ≠ 29 + 20 donc AB² ≠ BC² + AC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle en C ( on utilise la contraposée du théorème ) , il n’est donc pas rectangle.
