1 Automath sur les vecteurs
I. Vecteurs et lectures graphiques
Savoir lire les coordonnées d’un point ou d’un vecteur.
Connaissant les coordonnées d’un vecteur, savoir construire un de ses représentants.
Notion de base (comprendre)
Soit (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽) un repère du plan. Soit 𝑢⃗ un vecteur.
Soit 𝑀 le seul point tel que : 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ ( M est l’image de 𝑂 par la translation de vecteur 𝑢⃗ ) Dans le repère(𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽), le point 𝑀 a pour coordonnées (𝑎 ; 𝑏).
Par définition, le vecteur 𝑢⃗ a pour coordonnées (𝑎 ; 𝑏)
Cas : 𝑎 > 0 𝑒𝑡 𝑏 > 0 Cas : 𝑎 < 0 𝑒𝑡 𝑏 > 0
Cas : 𝑎 > 0 𝑒𝑡 𝑏 > 0 Cas 𝑎 < 0 𝑒𝑡 𝑏 < 0
On pose : 𝑖 = 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ on a : 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 𝑖 En effet :
(𝑂𝐻) et (𝑂𝐼) ont la même direction (parallèles)
La longueur de 𝑂𝐻 est { 𝑎 × 𝑂𝐼 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓
−𝑎 × 𝑂𝐼 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ et 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont de { 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
On pose : 𝑗 = 𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗ on a : 𝑂𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 𝑗 En effet :
(𝑂𝐾) et (𝑂𝐽) ont la même direction (parallèles)
La longueur de 𝑂𝐾 est { 𝑎 × 𝑂𝐽 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓
−𝑎 × 𝑂𝐽 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗ et 𝑂𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont de { 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
Dans tous les cas : 𝑢⃗ = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗
On dit que (𝑶 ; 𝒊 ; 𝒋 ) est un repère du plan
On dit que ( 𝒊 ; 𝒋 ) est une base des vecteurs du plan
Ainsi, dans un repère (𝑶 ; 𝒊 ; 𝒋 ) : 𝐸𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝒖⃗⃗ (𝒂 ; 𝒃) 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 à é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝒖⃗⃗ = 𝒂 𝒊 + 𝒃 𝒋
Lecture 1 (O,
i ,
j) est un repère du plan.
La position de O n’intervient pas dans cet exercice : pour définir les coordonnées d’un vecteur, il suffit de connaître (
i ,
j).
1) Donner une représentation des vecteurs :
3
u 2
2
v 1
2
w 0
0 a 1
2) Exprimer chacun des quatre vecteurs précédents en fonction de
i et
j.
Lecture 2
Sur le graphique, les vecteurs ont tous comme origine et comme extrémité deux points du quadrillage : on ne tiendra pas compte des quelques imprécisions de construction dû au logiciel utilisé.
(O,
i ,
j) est un repère du plan.
Lire graphiquement, les coordonnées de :
AB,
CD,
EF,
GH,
KL
Lecture 3 Dans chaque cas, compléter (si possible) par un réel pour que l’égalité soit vérifiée.
a) 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
d) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
II. Coordonnées
Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment
Savoir calculer les coordonnées d’un vecteur
Connaissant les coordonnées de
u , savoir calculer les coordonnées de :
3u,
3u
5 , …, ku
Connaissant les coordonnées de
u et de
v , savoir calculer les coordonnées de :
uv ,
3u 2v, …
Savoir tester la colinéarité de deux vecteurs
Savoir calculer les coordonnées d’un point défini par une relation vectorielle
Par cœur : notion de colinéarité
On dit que deux vecteurs sont colinéaires quand l’un est le produit de l’autre par un réel.
Dit autrement, deux vecteurs sont colinéaires quand leurs coordonnées sont proportionnelles.
En particulier, deux vecteurs non nuls 𝒖⃗⃗ et 𝒗⃗⃗ sont colinéaires quand il existe un réel 𝒌 tel que : 𝒗⃗⃗ = 𝒌𝒖⃗⃗
Par cœur : formulaire
Pour tous les vecteurs 𝑢⃗ (𝑎 ; 𝑏) et 𝑣 (𝑎′ ; 𝑏′), tous les points 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), tous les réels 𝑘 1) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵− 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵− 𝑦𝐴)
2) 𝑢⃗ + 𝑣 (𝑎 + 𝑎′ ; 𝑏 + 𝑏′) 3) 𝑘 𝑢⃗ (𝑘𝑎 ; 𝑘𝑏)
4) I milieu de [𝐴𝐵] 𝑥𝐼 =1
2(𝑥𝐴 + 𝑥𝐵) 𝑦𝐼 =1
2(𝑦𝐴+ 𝑦𝐵)
5) Pour 𝑥𝐴 ≠ 𝑥𝐵 , la droite (𝐴𝐵) a pour coefficient directeur 𝑚(𝐴𝐵)= 𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
6) Dans un repère orthonormé, 𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2
Colinéarité
1) Par combien faut-il multiplier 153 pour obtenir 137 ?
2) Les vecteurs 𝑢⃗ (−9 ; 12) et 𝑣 (3 ; −4) sont-ils colinéaires ? 3) Les vecteurs 𝑢⃗ (15 ; 35) et 𝑣 (21 ; 49) sont-ils colinéaires ? 4) Les vecteurs 𝑢⃗ (16 ; 24) et 𝑣 (12 ; 34) sont-ils colinéaires ?
Coordonnées 2
Le plan étant muni d’un repère (O, i,
j), on donne :
3
u 2
2
v 1 1) Calculer les coordonnées des vecteurs
u v
w 2 5 2) On considère
a 2i32 j . Que peut-on dire de
w et
a ?
Coordonnées 3
1) 𝐺(3 ; 2) 𝐿(−5 ; −3) 𝑃(2 ; −2)
Déterminer les coordonnées du point 𝐻 pour que GHLP soit un parallélogramme.
2) 𝐴(−5 ; −1) 𝐵(−2 ; 3)
Déterminer les coordonnées du point 𝑀 pour que 3 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ puis placer 𝑀 3) 𝐴(−5 ; −1) 𝐵(−2 ; 3) 𝐶(2 ; 1)
Déterminer les coordonnées du point 𝑁 pour que 2𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ puis placer 𝑁
III. Constructions
Savoir construire un représentant de la somme de vecteurs.
Savoir construire un point (inconnu) défini par une égalité vectorielles.
Construction 1 : Construire
uv ;
3u
2 ;
2u ;
uv w 2
Construction 2 ABCD est un parallélogramme.
Placer les points F tel que :
BDCA
DF . Conjecturer puis démontrer.
IV. Démontrer
En utilisant les coordonnées, savoir démontrer des propriétés géométriques : quadrilatères particuliers (parallélogramme, rectangle, losange, carré, trapèze), milieu d’un segment, parallélisme de droites, alignement de points.
Par cœur :
𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑪𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ si et seulement si 𝑨𝑩𝑫𝑪 est un parallélogramme (éventuellement plat) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires si et seulement si les droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont parallèles
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires si et seulement si les points A, B, C sont alignés 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ si et seulement si 𝐵 est le milieu de [𝐴𝐶]
Coordonnées 1 Le plan étant muni d’un repère (O, i,
j),
On donne A(3 ; -2), B(4 ; 2), C(-1 ; -1), D(-2 ; -5), E(8 ; 1), F(-4 ; 4).
1) On appelle P et Q les milieux respectifs de [AC] et [BD]. Calculer les coordonnées de P et de Q.
Déduction ?
2) Calculer les coordonnées de
BEet de
AC. Déduction ? 3) Calculer les coordonnées de
EAet de
AD. Déduction ? 4) Calculer les coordonnées de
FBet de
FE. Déduction ?
V. Relation de Chasles
Utiliser la relation de Chasles pour transformer des écritures vectorielles.
Chasles 1 Simplifier (si possible) :
u 2AEEB2BA
v 3AE3EB
AEEB
w 2
Chasles 2 Sachant que
AB AC
BD 2 3 exprimer en fonction de
AB et
AC :
u 3CD et
v 3ADBC
I. Réponses lectures graphiques
Corrigé lecture 1
1) Sur le graphique, les vecteurs ont comme origine et comme extrémité deux points du quadrillage.
2) Par définition des coordonnées d’un vecteur dans un repère (O,
i ,
j) :
3
u 2 signifie
u 2 i3 j .
de même :
v i2 j
i j j
w 0 2 2
a i0 j i
Corrigé lecture 2
Attention à la graduation sur l’axe des ordonnées !
0
AB 2
5 , 1
CD 2
5 , 1
EF 0
5 , 0
GH 3
5 , 1 KL 2
Corrigé lecture 3
a) Les vecteurs 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ semblent avoir même direction donc il va exister un réel 𝑘 tel que : 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Les vecteurs ont des sens contraires donc 𝑘 est négatif Pour construire le segment [AD] à partir du segment [𝐴𝐶],
o on partage le segment [𝐴𝐶] en parties de même longueur o et on en reporte 5 pour construire [𝐴𝐷].
Ainsi : 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =−52 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
b) Les vecteurs 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ semblent avoir même direction donc il va exister un réel 𝑘 tel que : 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Les vecteurs ont le même sens donc 𝑘 est positif De plus 𝐶𝐴 =2
9𝐵𝐷 (il s’agit de longueur)
Ainsi : 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =2
9𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
d) Les vecteurs 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ n’ont pas la même direction donc il n’existe pas de réel 𝑘 tel que : 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
II. Réponses coordonnées
Colinéarité
1) On peut faire une étape par 1 :
Ainsi 153 ×137
153 = 137 Il faut multiplier 153 par 137
153 pour obtenir 137 2)
Première rédaction (dans les cas facile) Comme −9 = 3 × 3 12 = 3 × (−4) Donc 𝑢⃗ = 3𝑣
Donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires.
Seconde rédaction (important)
𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦
= 3 × 12 − (−4) × (9) = 0 Donc la relation de
colinéarité est vérifiée donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires
Troisième rédaction 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires
SSI il existe 𝑘 réel tel que 𝑣 = 𝑘 𝑢⃗ SSI {3 = −9 𝑘
−4 = 12 𝑘
SSI { 𝑘 = 3
−9= −1
3
𝑘 = − 4
12= −1
3
donc 𝑘 existe (on a −1
3𝑢⃗ = 𝑣 ) donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires 3)
Première rédaction Comme 21 =21
15× 15 =7
5× 15 49 =49
35× 35 =7
5× 35 Donc 𝑣 =7
5𝑢⃗
Donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires.
Seconde rédaction (important)
𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦
= 21 × 35 − 49 × 15 = 0 Donc la relation de
colinéarité est vérifiée donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires
Troisième rédaction 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires
SSI il existe 𝑘 réel tel que 𝑣 = 𝑘 𝑢⃗ SSI {21 = 15 𝑘
49 = 35 𝑘
SSI {𝑘 =21
15=7
5
𝑘 =49
35=7
5
donc 𝑘 existe (on a 7
5𝑢⃗ = 𝑣 ) donc 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires 4)
Première rédaction Comme 12 =12
16× 16 =3
4× 16 34 =34
24× 24 =17
12× 34 Comme 3
4≠17
12,
les vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 ne sont pas colinéaires.
Seconde rédaction (important)
𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦
= 12 × 24 − 34 × 16
= −236
Donc la relation de colinéarité n’est pas vérifiée
donc 𝑢⃗ et 𝑣 ne sont pas colinéaires
Troisième rédaction 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires
SSI il existe 𝑘 réel tel que 𝑣 = 𝑘 𝑢⃗ SSI {12 = 16 𝑘
34 = 24 𝑘 SSI {𝑘 =12
16= 3
4
𝑘 =34
24=17
12
donc il n’existe pas de réel 𝑘 donc 𝑢⃗ et 𝑣 ne sont pas colinéaires.
Coordonnées 2
Le plan étant muni d’un repère (O, i,
j), on donne :
3
u 2
2
v 1
1)
16 1 )
2 ( 5 3 2
1 5 2 2
w
2) Comme
16 2 32
1 2
2 Ainsi :
a 2w Donc les vecteurs
a et
w sont colinéaires.
Coordonnées 3
1) GHLP est un parallélogramme ⇔ 𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐿⃗⃗⃗⃗
⇔ {𝑥𝐻− 3 = −7 𝑦𝐻− 2 = −1
⇔ {𝑥𝐻= −4 𝑦𝐻 = 1 Donc 𝐻(−4 ; 1)
2) 3 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {3(𝑥𝑀+ 5) = 2(𝑥𝑀 + 2) 3(𝑦𝑀+ 1) = 2(𝑦𝑀 − 3)
⇔ {3𝑥𝑀 + 15 = 2𝑥𝑀+ 4 3𝑦𝑀 + 3 = 2𝑦𝑀− 6 ⇔ {𝑥𝑀 = −11
𝑦𝑀 = −9 Donc 𝑀(−11 ; −9)
3) 2𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ⇔ {2(𝑥𝑁+ 5) + 3(𝑥𝑁+ 2) − (𝑥𝑁− 2) = 0 2(𝑦𝑁+ 1) + 3(𝑦𝑁− 3) − (𝑦𝑁− 1) = 0
⇔ {4𝑥𝑁+ 18 = 0 4𝑦𝑁− 6 = 0
⇔ {𝑥𝑁 = −18
4 = −9
2
𝑦𝑁 = 6
4=3
2
Donc 𝑁 (−9
2;3
2)
III. Corrigé constructions
Construction 1
u v On peut faire la construction en utilisant des translations successives.
1) On choisit un point M quelconque
2) On détermine son image M’ par la translation de vecteur u 3), On détermine M’’ l’image de M’ par la translation de vecteur v Ainsi :
uv
MM''
3u
2 Le vecteur
3u 2 a :
Même direction que
u (parallèle)
Le même sens que celui de
u (car 3
2 est positif)
D’une longueur égale à 3
2 fois celle de
u
2u Le vecteur
2u a :
Même direction que
u (parallèle)
Le sens opposé à celui de
u (car –2 est négatif)
D’une longueur égale à 2 fois celle de u
wuv
2
Construction 2
Il semblerait que A, D, F soient alignés. Nous allons démontrer que
DFet
ADsont colinéaires.
BDCABDAC
DF car
CA AC
BA AD AC
DF car d’après la relation de Chasles BD BA AD
BAADABBC
DF car d’après la relation de Chasles
ABBC AC
ADBC
DF car
AB BB 0 BA
AD
DF 2 comme ABCD est un parallélogramme
BC
AD
donc les vecteurs
DFet
ADsont colinéaires
donc les droites (DF) et (AD) sont parallèles avec un point commun D donc les points A, D, F sont alignés.
IV. Corrigé démontrer
Coordonnées 1 1)
Coordonnées de P 1 ) 2(
1
A C
P x x
x
5 , 1 ) 2(
1
A C
P y y
y
donc P ( 1 ; -1,5 )
Coordonnées de Q 1 ) 2(
1
B D
Q x x
x
5 , 1 ) 2(
1
B D
Q y y
y
donc Q ( 1 ; -1,5 )
Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
2) Coordonnées de
BE
1 -
4
B E
B E
y y
x BE x
Coordonnées de
AC
1 4 -
A C
A C
y y
x AC x
Donc
AC CA
BE donc le quadrilatère ACBE est un parallélogramme.
3) Coordonnées de
EA
3 -
5 - EA
Coordonnées de
AD
3 -
5 - AD
Donc
AD
EA donc A est le milieu de [ED].
4) Coordonnées de
FB
2 - 8 FB
Coordonnées de
FE
3 - 12 FE
𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦 = 8(−3) − (−2)12 = 0 donc les vecteurs
FB et
FEsont colinéaires
donc les droites (FB) et (FE) sont parallèles avec un point commun F donc les points B, F, E sont alignés.
V. Réponses Relation de Chasles
Chasles 1
u 2AEEB2BA
BA AE BE u 2
u 2BEBE
u 3BE
v 3AE3EB
EB AE v 3
v 3AB
w2AEEB
AEAEEB w
w AEAB
Ce n’est pas plus simple… mais on ne peut pas faire beaucoup mieux ! A retenir :
Attention à la règle des priorités
EB AB
AE 2
2
Pas de relation de Chasles avec les soustractions
EB AB AE
Chasles 2
Idée : On ne connaît D que grâce à
BD. Donc on va utiliser la relation de Chasles pour obtenir
BD
CD CA AB BD CA AB AB AC AB AC AB AC
u 3 3 3 2 3 3 3 2 9 6
AD BC AB BD CB AB AB AC CA AB AB AC
v 3 3 3 2 3 10 8
