L.S.Marsa Elriadh
Correction du Devoir de contrôle n°2
M : Zribi
4
èmeSc
2011-20122011-2012
www.zribimaths.jimdo.com Page 1
Exercice 1 (3points):
1) b) Une droite.
2) C)
5
3) c) H(-2,0,-1) Exercice 2 :
1) Df ‘ =IR\{1}
2) a)
lim ( ) ; lim ( )
x
f x
xf x
.b)
( )
lim ( ) 3 ; lim
x x
f x x f x
x
. 3) f(0)=1 ; f ’(-1)=0 ; f ‘(0)=-3 et f’d(1)1
2
. 4)a)
g continue et strictement croissante sur ]-∞,-1] donc g réalise une bijection de ]-∞,-1] sur J=]-∞,3]
b)
g(0)=1.
g dérivable en 0 et g ‘(0)=-3≠0 donc g-1est dérivable en 1
et 1 ' 11 1 1
( ) (1)
'( (1)) '(0) 3
g g g g
c) Exercice 3 :
1)
a) C1 =Cf ; C2=Cf’.
L.S.Marsa Elriadh
Correction du Devoir de contrôle n°2
M : Zribi
4
èmeSc
2011-20122011-2012
www.zribimaths.jimdo.com Page 2
b) f(0)=0 et f ‘(0)=1.
c) 1 est un maximum de f ‘ sur IR donc f ’(x) ≤ 1 ; pour tout x∈IR.
2)
a)
lim ( ) lim lim lim 1 1
1 1 1
²(1 ) 1 1
² ² ²
lim ( ) lim 1 1
1 1
²
x x x x
x x
x x
f x
x x
x x x
f x
x
la droite d’équation y=1 est une asymptote à Cf au voisinage de +∞
la droite d’équation y=-1 est une asymptote à Cf au voisinage de -∞
b)
² 1 2
2 ² 1 1
'( ) ( ² 1) ( ² 1) ² 1
x x x f x x
x x x
.c)
x -∞ +∞
f ’ +
f 1
-1
3) on pose h(x)=f(x)-x ; h’(x)=f’(x)-1 ≤0 h continue ; strictement croissante sur IR ;
on a :
lim ( ) ; lim ( )
x
h x
xh x
; -1∈IRdonc l’équation h(x)= -1 admet dans IR une unique solution ∝.
donc f(x)=x-1 admet dans IR une unique solution ∝.
4) a) f continue, strictement croissante sur IR donc f réalise une bijection de IR sur J=]-1,1[.
b)
L.S.Marsa Elriadh
Correction du Devoir de contrôle n°2
M : Zribi
4
èmeSc
2011-20122011-2012
www.zribimaths.jimdo.com Page 3
1
1
] 1,1[
( ) ( )
² 1
² ²
² 1
²( ² 1) ² ² ²
1 ²
( )
1 ² 1 ²
( )
1 ²
x et y IR
f x y sig x f y sig x y y sig x y x et y de meme signe
y
sig y x x sig y x
x
x x
sig y ou y impossible x et y de meme signe
x x
f x x
x
Exercice 4 :
1) a) A G A B A E A D 4i 5i 2k donc G(4, 5, 2)
b) A H A E A D 5i 2k donc H(0, 5, 2)
4 0 0
5 5 8
2 2 20
AG AH
Déterminer les composantes de
AG AH
. c) P= (AGH) :ac+by+cz+d=0.0 8 20 n
pA G A H
donc P : -8y+20z+d=0
A∈P donc d=0 donc P : -8y+20z=0 donc P : -2y+5z=0 2)
0 4
1 1 80 40
| ( ). | | 8 . 0 |
6 6 6 3
20 4
V AG AH AC
3)a) Sm : x²+(y-5m)²+z²=4 donc Sm est la sphère de centre Im (0,5m,0)et de rayon R=2 .
b)
A I
m m AE
donc Im décrit la droite (AE).c) d(E,P) <2 donc S1 coupe le plan P selon un cercle HϵP et H∈S1 donc H appartient au cercle.
