Correction du Devoir de Contrôle n°1

2012-2013

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L.S.Marsa Elriadh

Correction du Devoir de Contrôle n°1

M : Zribi

3

Maths

Exercice 1 (5points):

1) le maximum de f est 5 ; f n’a pas de minimum 2) f est continue sur ]-6,-1[U]-1,-2[U[2,5[

3) f(]-6,-1[) =]-2,-1[ f([-1,2[) =]0,4]U{5} f(]-6,5[)=]-2,-1[U]0,5].

4)

xlim f (x)1_ 1 ; xlim f (x)1_ 3 ; lim f (x)x 2_ 0 ; lim f (x)x 2_ 2

        

5) f est continue sur ]-6,-1[ donc x 2f (x) 4 est continue sur l’intervalle ]-6,-1[.

de plus, pour tout x ∈]-6,-1[ on a -2<f(x)<-1 donc -4<2f(x)<-2 donc 0<2f(x)+4<2 par suite g est continue sur ]-6,-1[.

Exercice 2 ( 5points) :

Soit f la fonction définie par

x x 1

f (x) si x 0

x 1 f (0) 0

   

 

 

 ^.

1) Df=[0,+∞[/{1}

2) x x est continue et positive sur ]0,+∞[/{1} donc x x x 1 est continue sur ]0,+∞[/{1} .

x x 1 est continue et non nulle sur ]0,+∞[/{1} . par suite f est continue sur ]0,+∞[/{1} .

3) a) 0≤ x <1 ;

x x 1 1 x x f (x) f (0)

x 1 x 1

1 x x x x x x(1 x )

f (x) f (0) 1 1 0

1 x 1 x 1 x

 

  

 

  

      

  

.

donc f (x) f (0) >1.

b) pour tout 0≤ x <1 ; on a f (x) f (0) >1 donc on ne peut pas rendre f(x) assez voisin que l’on veut de f(0) ; par suite f n’est pas continue à droite en 0.

4) a) on a :

 f continue sur ]2,3[.

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 f (2) 2 2 1 2 et f (3) ^{3 3 1} 2 donc f (2) 2 f (3) 2

       

donc f(x)=2 admet dans ]2,3[ une solution ∝ b)

on a f ( ) 2 donc 1 2 donc 1 2 2 1

2 1 donc 2 1 donc

  

        

 

        



Exercice 3 ( 4points):

1) a)

  ^{ }

 

 

AE, AC 71 2 3

71 24 2 3

3 2

   

    

  

      ^{ }

 

 

CB, CD CB, CA CD, CA 2 4 6 2

12 2

  

   

  

b)

    ^{ }

  ^{ }

 

AE, 3CA AE, 3AC 2 AE, AC 2 12 2

  

 

   2)

    ^{ }

 

 

BD, BC ED, EC 2 3 2

2 2 3

   

   

  

      ^{ }

    ^{ }

 

 

DB, CE DB, DE DE, CE 2 DB, DE ED, EC 2

5 2

12 3 9 2 12

  

  

  

  

   

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3)

  ^{ }

  ^{ }

MB, MD 2

12

CB, CD 2

  

 

.

donc M décrit ^{DB / D, B}

 

Exercice 4 (6points):

1) a) AB.AEAB.AD AB.AD 8 . b)

 

AB.AE AB.AE.cos BAE 4AE. 2AE 2

donc 2AE 8 donc AE 4

    

   

2) a)

   

0 0

BC.BE BA AC . BD DE BA.BD BA.DE AC.BD. AC.DE BA.BD AC.DE 24 4.2 3 24 8 3

      

     

b)

BC.BE BC.BE cos CBE 4 2.4 3 cos CBE 16 6 cos CBE donc 24 8 3 16 6 cos CBE

6 2

donc cos CBE

4

  

 

 

.

c) 2 6

cos CBE cos

12 2

 

  .

3)

a) CE.DBAD.DB AD.DB 2.6 12.

b) CM.DBCE.DB sig (CMCE).DB0 sig EM.DB0 donc M décrit la droite perpendiculaire à (DB) passant par E =(DE)