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Repère, vecteurs et coordonnées dans l’espace

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Activités Page 1

Repère, vecteurs et coordonnées dans l’espace

L’espace est rapporté au repère orthonormal  O i j k ; ; ;.

On considère deux vecteurs x u y z

   

   

  et

' ' ' x v y z

   

   

  .

Cela signifie que u   xi y jzk et vx i '  y j '  z k ' . Produit scalaire dans l’espace

' ' '

u v        x x y y z z

Distance dans l’espace

Si A et B sont deux points coordonnées respectives  x

A

; y

A

; z

A

 et  x

B

; y

B

; z

B

 :

  

2

 

2

2

2

B A B A B A

ABxxyyzz

Orthogonalité plan – droite

Un vecteur n est dit normal au plan  lorsqu’il est porté par une droite orthogonale à ce plan.

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Le plan passant par le point A et orthogonal au vecteur n est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

0 AM n   Equation générale de plan

Si a n b c

   

   

 

est un vecteur normal au plan  , alors une équation de  est ax by cz     d 0 .

Réciproque : Si ax by cz     d 0 est une équation de  , alors a n b c

   

   

 

est un vecteur normal.

O I

J

K A

B

A PLAN

VECTEUR

NORMAL

(2)

Activités Page 2

Plans particuliers

ABCDEFGH est un cube d’arête a  1 .

On considère l’espace rapporté au repère orthonormal  D DA DC DH ; ; ;

 Déterminer l’équations des plans (ABCD) et (EFGH).

 Déterminer les équations des plans (ADHE) et (BCGF).

 Déterminer les équations des plans (ABFE) et (DCGH)

 Déterminer l’équation du plan (CDEF) ?

 Déterminer l’équation du plan (ADGF) ?

 Déterminer l’équation du plan (BCHE) ?

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

A E

B H

F

G

C D

$1$

B

C

D A

A B

D C

E

F

I J

(3)

Activités Page 3

Equations

L’équation d’une droite dans un plan muni d’un repère orthonormal  O i j ; ;

est de la forme axby   c 0

L’équation d’un plan dans l’espace muni d’un repère orthonormal  O i j k ; ; ;

est de la forme axby    cz d 0

Qu’en est-il de l’équation d’une droite dans l’espace ? Equation paramétrique d’une droite dans l’espace Pour déterminer une droite dans l’espace

muni d’un repère orthonormé  O i j k ; ; ;

on donnera son équation paramétrique : Un point quelconque M x y z; ;

appartient à la droite, si et seulement si il existe kIR tel que :

A A A

x x k a y y k b z z k c

  

    

    

Ceci traduit le fait que les vecteurs AM et u sont colinéaires, c'est-à-dire AM   k u . On dit alors que le vecteur u est un vecteur directeur de la droite.

Application 1

Donner une représentation paramétrique de la droite   AB dans chacun des cas suivants :

1; 2;3

A et B1;0; 5 A4; 1; 2  et B5;0; 8 A1; 2;7  et B1; 2;11

Application 2

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A , perpendiculaire au plan  :

5; 2;0

A

  x   y 2 z   5 0

1;3; 4

A

  y 5 z 10 0

0;5;1

A

  y   7 0

ax+by+c=0

ax+by+cz+d=0

n (a;b;c)

ax+by+c=0

A (xA ; yA ; zA)

u (a ; b ; c)

M (x ; y ; z)

(4)

Activités Page 4

Existence d’un plan Vecteur normal à ce plan

Trois points distincts de l’espace définissent un plan à condition que ces trois points ne soient pas alignés, et ces points ne sont pas alignés à condition que les vecteurs AB et

AC ne soient pas colinéaires.

Application

Montrer que les points A1;3;0B 2;1;1  et C4;1; 2  déterminent un plan  dont vous déterminerez un vecteur normal, puis l’équation.

Intersection de deux plans

Soit  et   deux plans distincts. Ces deux plans sont soit sécants, soit parallèles. Ceci dépend de la position relative des vecteurs normaux n et n .

Si n et n sont colinéaires alors les plans sont parallèles : ils n’ont aucun point commun.

Si n et n ne sont pas colinéaires alors les plans sont sécants : leur intersection est une droite.

Propriété

Les deux plans d’équations respectives axby    cz d 0 et a x   b y   c z    d  0 sont sécants si et seulement si les vecteurs n a b c; ; et n a b c    ; ;  ne sont pas colinéaires, c'est-à- dire ne sont pas proportionnels.

Leur intersection est alors une droite dont on peut déterminer la représentation paramétrique.

Application 1

Dans un repère orthonormal de l’espace, on considère les plans   x    y z 1 et

  3 x 2 y   z 4 . Etudier l’intersection des plans  et   et montrer que c’est une droite.

Déterminer une représentation paramétrique de cette droite.

Application 2

Même travail avec les plans        x y z 3 0 et      x 2 y3 z0 .

C

A

B n

(5)

Activités Page 5

Intersection d’une droite et d’un plan

Soit une droite d et un plan  . La droite d est soit incluse dans le plan  , soit strictement parallèle à  c'est-à-dire qu’ils n’ont aucun point en commun, soit sécante avec  , c'est-à-dire qu’ils ont un seul point commun. Ceci dépend de la position relative du vecteur directeur u de la droite et du vecteur normal n du plan.

Si u et n ne sont pas orthogonaux alors la droite et le plan sont sécants. Si u et n sont orthogonaux alors : si un point de la droite appartient au plan alors la droite est incluse dans le plan, si un point de la droite n’appartient pas au plan alors la droite est strictement parallèle au plan.

Propriété

Le plan   ax by cz   d 0 et la droite   d

AA A

x x k y y k z z k

  

    

    

avec kIR sont sécants

si et seulement si a n b c

   

   

  et u

   

   

 

ne sont pas orthogonaux c'est-à-dire si a   b   c   0 .

Application 1

Déterminer l’intersection du plan  d’équation 2 x   y 5 z  1 avec la droite   AB

1; 5;0

A  et B4;1;3  . Application 2

Déterminer l’intersection du plan  et de la droite d dans chacun des cas suivants :

   P x   y 2 z   5 0 ,   d passe par A1;0;1  et de vecteur directeur u1;1;1.

   3 x     y z 3 0 ,   d est la droite   AB avec A1;1; 5  et B2;7; 2  .

   x     y z 1 0 ,   d a pour représentation paramétrique 3 5 2

x t

y t

z t

  

  

   

avec t

(6)

Activités Page 6

Distance d’un point à une droite de l’espace

Partie A

On considère le plan   P passant par B1; 2;1  et de vecteur normal 2 1 5 n

  

 

 

 

 

dont on déterminera une équation et le plan   R d’équation x  2 y   7 0 . Démontrer que   P et   R

sont perpendiculaires. Démontrer que l’intersection des plans   P et   R est la droite  

passant par le point C1;3;0  et de vecteur directeur 2

1 1 u

    

   

 

. Déterminer une représentation paramétrique de cette droite.

Partie B

Soit le point A5; 2; 1    . On appelle H le projeté orthogonal du point A sur le plan   P . On appelle K le projeté orthogonal du point A sur le plan   R .

Déterminer une représentation paramétrique de  AH  , montrer que les coordonnées du point H sont

 3,8; 1, 4; 2   puis calculer la distance AH. (On trouvera AH

2

 10,8 ).

Déterminer une représentation paramétrique de  AK  , montrer que les coordonnées du point K sont

 6, 2; 0, 4; 1   puis calculer la distance AK. (On trouvera AK

2

 7, 2 ).

En déduire, par une application simple du théorème de Pythagore la distance du point A à la droite   . Cette distance entre un point et une droite de l’espace est définie comme la distance minimale qui existe entre le point A et l’ensemble des points de la droite   .

Partie C

Soit, pour tout nombre réel t , le point M

t

de coordonnées  1 2 ;3 t t t ;  .

Déterminer, en fonction de t , la longueur AM

t

. On note    t le carré de cette longueur Etudier les variations de la fonction  .

Préciser son minimum et interpréter géométriquement cette valeur.

(7)

Activités Page 7

Section plane d’un cube

(8)

Activités Page 8

Section plane d’un cube – Encore

(9)

Activités Page 9

Cube et tétraèdre – Volumes

Sections planes – Le retour

(10)

Activités Page 10

(11)

Activités Page 11

Section plane d’un cube – Toujours

(12)

Activités Page 12

Volume d’une pyramide

Longueurs, aires, volumes

(13)

Activités Page 13

Section plane d’un tétraèdre

(14)

Activités Page 14

Etude d’une pyramide

(15)

Activités Page 15

Etude d’une autre pyramide

Etude d’un simple cube

(16)

Activités Page 16

Tétraèdre et molécule

(17)

Activités Page 17

(18)

Activités Page 18

(19)

Activités Page 19

(20)

Activités Page 20

(21)

Activités Page 21

Problème 1

Problème 2

Références

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