EXERCICE 2
PARTIE A : Restitution organisée de connaissances 1) SoitMun point du plan.
•Si M=Ω, alorsM!=Ω. Dans ce cas,z=z! =ωet doncz!−ω=eiα(z−ω).
•Si M!=Ω, alorsM!!=Ωet
r(M) =M! ⇒ΩM=ΩM! ⇒ΩM! ΩM =1⇒
!
!
!
! z!−ω
z−ω
!
!
!
!
=1,
et
r(M) =M!⇒
"−−ΩM,→ −−−→ ΩM!#
=α[2π]⇒arg
$z!−ω z−ω
%
=α[2π].
Ainsi, z!−ω
z−ω est le nombre complexe de module 1 et d’argument α. On en déduit que z!−ω
z−ω = eiα ou encore que z!−ω=eiα(z−ω).
Dans tous les cas, on a montré que
z!−ω=eiα(z−ω).
PARTIE B
1) a)SoitMun point du plan.
f(M) =M⇔iz+4+4i=z⇔(1−i)z=4+4i⇔z= 4+4i
1−i ⇔z= (4+4i)(1+i) (1−i)(1+i)
⇔z= 4+4i+4i−4
12+12 ⇔z= 8i
2 ⇔z=4i.
ω=4i.
b)SoitMun point du plan.
z!−4i=z!−ω= (iz+4+4i)−(iω+4+4i) =i(z−ω) =i(z−4i).
Pour tout pointMdu plan,z!−4i=i(z−4i).
c)On ai=cos"π 2
#+isin"π 2
#=eiπ/2 et on en déduit que
fest la rotation de centreΩ(0, 4)et d’angle π 2. 2) a)
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1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
A B
Ω
M A!
B!
N
P
Q
b)a!=4i+i(a−4i) =4i+i(4−2i−4i) =4i+i(4−6i) =4i+4i+6=6+8iet b! =4i+i(b−4i) =4i+i(−4+6i−4i) =4i+i(−4+2i) =4i−4i−2=−2.
a!=6+8ietb! =−2.
b)m= a+a!
2 = 4−2i+6+8i
2 =5+3i.
c)z−−→
MN=n−m= (1+7i)−(5+3i) =−4+4iet z−−→
QP=p−q= (−3+3i)−(1−i) =−4+4i. Ainsi,−−→ MN=−→
QPet donc le quadrilatèreMNPQest un parallélogramme.
c)q−m= (1−i)−(5+3i) =−4−4iet donc q−m
n−m = −4−4i
−4+4i = 4i(−1+i) 4(−1+i) =i.
Par suite, le pointQ est l’image du pointN par la rotation de centreMet d’angle π
2. On en déduit queMQ=MN et QMN! =90◦. Puisque le parallèlogrammeMNPQa un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur
le quadrilatèreMNPQest un carré.
4)Le vecteur−−→
B!Aa pour coordonnées(6,−2)et le vecteur−−ΩN→a pour coordonnées(1, 3). Donc
−−→ B!A.−−→
ΩN=6×1−2×3=0, et donc
les droites(B!A)et(ΩN)sont perpendiculaires.
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