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EXERCICE 2 PARTIE A : Restitution organisée de connaissances 1) Soit M un point du plan. • Si M = Ω, alors M

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Academic year: 2022

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EXERCICE 2

PARTIE A : Restitution organisée de connaissances 1) SoitMun point du plan.

•Si M=Ω, alorsM!=Ω. Dans ce cas,z=z! =ωet doncz!−ω=e(z−ω).

•Si M!=Ω, alorsM!!=Ωet

r(M) =M! ⇒ΩM=ΩM! ⇒ΩM! ΩM =1⇒

!

!

!

! z!−ω

z−ω

!

!

!

!

=1,

et

r(M) =M!

"−−ΩM,→ −−−→ ΩM!#

=α[2π]⇒arg

$z!−ω z−ω

%

=α[2π].

Ainsi, z!−ω

z−ω est le nombre complexe de module 1 et d’argument α. On en déduit que z!−ω

z−ω = e ou encore que z!−ω=e(z−ω).

Dans tous les cas, on a montré que

z!−ω=e(z−ω).

PARTIE B

1) a)SoitMun point du plan.

f(M) =M⇔iz+4+4i=z⇔(1−i)z=4+4i⇔z= 4+4i

1−i ⇔z= (4+4i)(1+i) (1−i)(1+i)

⇔z= 4+4i+4i−4

12+12 ⇔z= 8i

2 ⇔z=4i.

ω=4i.

b)SoitMun point du plan.

z!−4i=z!−ω= (iz+4+4i)−(iω+4+4i) =i(z−ω) =i(z−4i).

Pour tout pointMdu plan,z!−4i=i(z−4i).

c)On ai=cos"π 2

#+isin"π 2

#=eiπ/2 et on en déduit que

fest la rotation de centreΩ(0, 4)et d’angle π 2. 2) a)

http ://www.maths-france.fr 3 !c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

(3)

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

A B

M A!

B!

N

P

Q

b)a!=4i+i(a−4i) =4i+i(4−2i−4i) =4i+i(4−6i) =4i+4i+6=6+8iet b! =4i+i(b−4i) =4i+i(−4+6i−4i) =4i+i(−4+2i) =4i−4i−2=−2.

a!=6+8ietb! =−2.

b)m= a+a!

2 = 4−2i+6+8i

2 =5+3i.

c)z−−

MN=n−m= (1+7i)−(5+3i) =−4+4iet z

QP=p−q= (−3+3i)−(1−i) =−4+4i. Ainsi,−−→ MN=−→

QPet donc le quadrilatèreMNPQest un parallélogramme.

c)q−m= (1−i)−(5+3i) =−4−4iet donc q−m

n−m = −4−4i

−4+4i = 4i(−1+i) 4(−1+i) =i.

Par suite, le pointQ est l’image du pointN par la rotation de centreMet d’angle π

2. On en déduit queMQ=MN et QMN! =90. Puisque le parallèlogrammeMNPQa un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur

le quadrilatèreMNPQest un carré.

4)Le vecteur−−→

B!Aa pour coordonnées(6,−2)et le vecteur−−ΩN→a pour coordonnées(1, 3). Donc

−−→ B!A.−−→

ΩN=6×1−2×3=0, et donc

les droites(B!A)et(ΩN)sont perpendiculaires.

http ://www.maths-france.fr 4 !c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

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