D1861 - Dualité
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle quelconque.
QUESTION 1
Soient P, Q, R trois points situés respectivement sur les droites (BC), (CA), (AB) et distincts des sommets du triangle ABC.
Montrer qu’il existe une conique non dégénérée tangente à (BC), (CA), (AB) en P, Q, R respectivement si et seulement si les droites (AP), (BQ), (CR) sont concourantes en un point M.
Quelle conique obtient-on dans le cas particulier où M coïncide avec le centre de gravité du triangle ABC ? QUESTION 2
Soient (p), (q), (r) trois droites passant respectivement par A, B, C et distinctes des côtés du triangle ABC.
Montrer qu’il existe une conique non dégénérée tangente à (p), (q), (r) en A, B, C respectivement si et seulement si les points d’intersection de (p) et (BC), de (q) et (CA), de (r) et (AB) sont alignés sur une droite (m).
Quelle conique obtient-on dans le cas particulier où (m) coïncide avec la droite de l’infini ? Solution proposée par l'auteur
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
QUESTION 1
1) Condition suffisante
Supposons les droites (AP), (BQ), (CR) concourantes.
Leur point de concours M a pour coordonnées : M
avec , , non nuls
Les points P, Q, R ont alors pour coordonnées :
0 P
Q 0
R
0
Considérons alors la conique d’équation :
2 2 2
x y z 2 x y 2 y z 2 z x 0
Elle est non dégénérée car :
2 2 2 2 2 2
x y z 2 x y 2 y z 2 z x x y z y z y z
En cherchant les points d’intersection de et de la droite (AB), d’équation z 0 , on trouve :
2 2 2
x y 2 x y x y 0
On touve le point R comme unique point d’intersection.
La droite (AB) est donc tangente en R à .
On voit de même que les droites (BC) et CA) sont tangentes à en P et Q respectivement.
2) Condition nécessaire
Réciproquement supposons qu’une conique non dégénérée soit tangente en à (BC), (CA), (AB) en des points P, Q, R respectivement.
Les points P, Q, R ont pour coordonnées : 0 P
Q 0
' R
0
Le fait que soit tangente à (BC) et (CA) en Pet Q impose que son équation soit de la forme :
2 2 2
x y z 2 k x y 2 y z 2 z x 0
où k est une constante
En écrivant que les coordonnées de R vérifient l’équation, on obtient : ' 2 1 2 k ' 0
Pour que '
soit solution unique il faut que le discriminant réduit k21 soit nul.
Si k 1, on obtient ' , mais alors la conique est dégénérée puisque son équation s’écrit :
2 2 2 2
x y z 2 x y 2 y z 2 z x x y z 0
Donc : k 1 et '
Les droites (AP), (BQ), (CR) se rencontrent donc en M, de coordonnées : M
3) Cas particulier
Dans le cas où M est le centre de gravité du triangle la conique est l’ellipse de Steiner inscrite dans le triangle.
QUESTION 2
Une conique passant par A, B, C a une équation du type : y z z x x y 0 Pour qu’elle ne soit pas dégénérée il faut et il suffit que , , soient non nuls.
La conjugaison par rapport à de deux points de coordonnées (x, y, z) et (x’, y’, z’) s’exprime par : (y z' y' z) (z x' z' x) (x y' x' y) 0
L’équation de la tangente en A à , la polaire de A, est donc : z y 0
Le point P d’intersection de cette tangente et de la droite (BC) a donc pour coordonnées :
0 P
Soit Q le point d’intersection de la tangente en B et de la droite (CA)
Soit R le point d’intersection de la tangente en C et de la droite (AB).
Alors de façon analogue, on obtient les coordonnées de Q et R : Q 0
R 0
Les trois points P, Q, R sont alignés sur une droite (m) car le déterminant 0
0 0
est nul.
L’équation de la droite (m) est : x y z 0
Réciproquement si P, Q, R sont trois points alignés, appartenant aux côtés du triangle ABC et distincts des sommets, alors il existe des nombres , , non nuls tels que leurs coordonnées soient de la forme ci- dessus.
Et la conique d’équation ci-dessus convient.
Dans le cas particulier où la droite (m) est la droite de l’infini, la conique est l’ellipse de Steiner circonscrite au triangle, dont les tangentes aux sommets du triangle sont parallèles au côté opposé.
REMARQUE
Il aurait suffi de résoudre l’un des deux problèmes.
Il se correspondent par la dualité qui échange points et droites, droites, coniques ponctuelles et coniques tangentielles.
Si un point P devient droite (p) et si une droite (d) devient point D, l’appartenance de P à (d) équivaut à l’appartenance de D à (p).
