D 2916 Des chiffres merveilleux Solution proposée par Pierre Renfer Question 1 On utilise le repère orthonormé d’origine A, tel que les points O, B, P aient pour coordonnées : La droite (OP) a pour équation :

(1)

D 2916 Des chiffres merveilleux Solution proposée par Pierre Renfer

Question 1

On utilise le repère orthonormé d’origine A, tel que les points O, B, P aient pour coordonnées : O 2a

0

 2a

B 2a

 a

P a tan



  La droite (OP) a pour équation : y (x 2a)tan   

(2)

Si x désigne l’abscisse de C, les coordonnées de C sont : C ^x

( x 2a)tan  

En écrivant que C est sur le cercle, de centre A, passant par B, on obtient l’équation :

La plus grande des deux racines est donc : ^{y 2 cos}^{ }



²^{  }^{1 cos}^{ } ^{1 cos}^ ²^



(1) En écrivant que la distance PC est égale à la distance OA, on obtient l’équation :

2 2 2 2

(x a) (x a) tan     4a (2)

En posanty ^x

a, les équations deviennent :

2 2 2

2 2

y 4y sin 12sin 8 0 (1) (y 1) 4cos ( 2)

       



  



Le nombre y cherché est la plus grande des racines de (1) et la plus petite des racines de (2) Le discriminant réduit de l’équation (1) est :

4 2 2 2 2 2

' 4(sin 3sin 2) 4(1 sin )(2 sin ) 4 cos (1 cos )

                   

La plus grande des deux racines de (1) est donc : ^{y 2 cos}^{ }



²^{  }^{1 cos}^{ } ^{1 cos}^ ²^



La plus petite des deux racines de (2) est : y  1 cos

En égalant les deux valeurs de y, on obtient : 2 cos   1 cos ²  2cos² 2cos 1 En élevant les deux membres au carré et en posant U 2cos , on obtient : U³U² 2U 1 0 

En remplaçant U parU X ¹, où X eⁱ X

   , on obtient : X⁶ X⁵ X⁴X³X²  X 1 0

On reconnaît dans ce polynôme en X le polynôme cyclotomique ₁₄(X )

Donc le polynôme en U admet comme racines : 2cos , 2cos ³ , 2cos ⁵

7 7 7

     

     

     

On conclut que : ³ 7

  

(3)

Question 2

Les points O, A, P, D sont des sommets d’un heptagone régulier inscrit dans le cercle de centre , de rayon 1.

OA AD 2sin 2 7 PD 2sin

37 PA 2sin

7

 

 



  



  



2 2 2 2 22 23 2 25 23

AD PD PA 4 sin sin sin 4 3 cos cos cos

7 7 7 7 7 7

       

           

   

Les fonctions symétriques élémentaires   ₁, , ₂ ₃ des racines 2cos , 2cos ³ , 2cos ⁵

7 7 7

     

     

      du

polynôme en U ci-dessus ont pour valeurs :  ₁ 1,   ₂ 2,   ₃ 1

Donc : AD²PD²PA² 12 2    ₂ ₁² 7

On note :

2 2 2 2

a AD 4sin 4 u où u cos

7 7

5 5

b PD 4sin 4 v où v cos

7 7

3 3

c PA 4sin 4 w où w cos

7 7

  

    



 

     



 

     



L’aire S du triangle ADP s’obtient par la formule de Héron :

2 2 2 2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 2 1 3 1 2

16 S (a b c ) 2(ab bc ca)

(u v w ) 2(u v v w 2w u ) 8(u v w ) 48 (u v w ) 4(u v v w 2w u ) 8(u v w ) 48

( 2 ) 4( ) 8( 2 ) 48

25 24 40 48 7

        

            

                 

     

Donc : S 7

 4