D1949. En passant par Espaly
Problème proposé par Dominique Roux
On donne un point F intérieur à un cercle (O) de centre O. Une droite variable passant par F coupe le cercle (O) en deux points M et N. Le cercle de diamètre [FM] recoupe (O) en M’ et le cercle de diamètre [FN]
recoupe (O) en N’.
1) Montrer que le point A commun à MM’ et NN’ ainsi que le point B commun à MN et M’N’ décrivent une même droite.
2) Montrer que MN’ et M’N se coupent en un point fixe situé sur OF.
3) Montrer que M’N’ passe par un point fixe.
Solution proposée par Michel ROME
O (O)
M
F
N M0
N0
F0 A
(D)
B0 C
B P
C0
Question 1
Soient r le rayon de(O), (c1)le cercle de diamètre F M et (c2) le cercle de diamètre F N.
Le pointA a même puissance par rapport aux trois cercles : (O), (c1)et (c2). Il est donc sur l’axe radical de ces deux derniers qui est la tangente commune enF.AF est orthogonal àM N.AM·AM0 =AF2.Aest donc sur(D), axe radical du cercle (O) et du pointF. Cette droite est fixe.
(D) est perpendiculaire à OF en un point B0. Cette droite est aussi la médiatrice des pointsF etF0, oùF0 est surOF et vérifieOF·OF0 =r2. Considérons (c0), le cercle de diamètre AF. Il passe par M0, N0, et B0. Le pointB à même puissance par rapport à (c0)et à (O) etBM·BN = BM0·BN0 =BF2. Donc B décrit(D).
Question 2
Soit Qintersection de M N0 et M0N diagonales du quadrilatère complet M M0N0N. La droite (D) supportant la troisième diagonale AB est la polaire deQ par rapport à (O). C’est une construction classique.
Ce point est sur la perpendiculaire à AB passant par O, c’est à dire sur OF et vérifie OQ·OB0 =r2. C’est un point fixe.
Question 3
Considérons l’inversion de pôle A et de puissance AF2. Les points (M, M0), (N, N0) s’échangent. Le cercle (c0) devient la droite M N l’in- verse de B0 devient B. Comme B est sur M0N0, B0 est sur le cercle AM N.
SoitC le point diamétralement opposé à Asur le cercleAM N. Ce point est sur la droite OF à cause de l’angle droit AB0O. L’angle AM C est également droit. La médiatrice deM M0 est équidistante et parallèle aux droites M C et M0F, donc O est le milieu de CF. Le point C est fixe.
Dans l’inversion précédente, le pointC devientC0 à l’intersection deAC et M0N0. En autres termes C et M0N0 sont pole et polaire par rapport au cercle d’inversion de centre A passant par F et F0. Les points C et P sont conjugués par rapport à ce cercle. En conséquenceC, P, F, F0 est harmonique et doncP est fixe.
Remarques
B0 est le point de Miquel du quadrilatère complet M M0N0N. La figure est proche de celle du problème A1931.
Espaly-Saint-Marcel est la ville de mon arrière grand’mère (sosa 13).
