Enoncé D1949 (Diophante) En passant par Espaly. . .
On donne un point F intérieur à un cercle (O) de centreO.
Une droite variable passant parF coupe le cercle (O) en deux pointsM et N. Le cercle de diamètre [F M] recoupe (O) en M0 et le cercle de diamètre [F N] recoupe (O) enN0.
1) Montrer que le point A commun àM M0 etN N0 ainsi que le point B commun à M N etM0N0 décrivent une même droite.
2) Montrer que M N0 etM0N se coupent en un point fixe situé surOF. 3) Montrer que M0N0 passe par un point fixe.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit l’inversion de pôleF laissant invariant le cercle (O) (la puissance de l’inversion est la puissance deF par rapport au cercle).
Cette inversion transformeM enN, laisse globalement invariante la droite M N, et le cercle de diamètre F M, coupant M N à angle droit en M, devient une droite coupantM N à angle droit enN. Cette droite recoupe le cercle (O) enN1, transformé deM0 par l’inversion.
De même l’inversion transforme le cercle de diamètreF N en la perpendi- culaire en M à M N, qui recoupe le cercle (O) en M1, transformé de N0 par l’inversion.
Le quadrilatère M N N1M1 est un rectangle dont les médiatrices et les diagonales passent parO.
Je noteOF =a, l’unité de longueur étant le rayon du cercle (O).
1) L’inversion transforme la droite M M0 en le cercle circonscrit au tri- angleF N N1, centré sur la médiatrice deN N1 qui est aussi médiatrice de M M1; de mêmeN N0est transformé en le cercle circonscrit àF M M1; ces deux cercles se coupent enF et enA1, symétrique deF par rapport à la médiatrice de N N1. AinsiOF =OA1.
Le pointA1, transformé de A par l’inversion, décrit le cercle de centre O et de rayonOF; c’est le transformé par l’inversion d’une droite perpendi- culaire àOF. La distance deF à celle-ci est le quotient de la puissance de l’inversion par le diamètre 2a du cercle ; c’est la moitié de la distance de F à sa polaire par rapport au cercle (O).
L’inversion transforme la droite M0N0 en le cercle circonscrit au triangle F M1N1, centré sur la médiatrice deM N qui est aussi médiatrice deM1N1; ce cercle recoupe M N en B1, symétrique de F par rapport au milieu de M N. On a doncOB1 =OF,O se projetant surM N au milieu du segment M N. Le lieu deB1, qui est le transformé deB par l’inversion, est le même que celui deA1,
AinsiB etA se déplacent sur la même droite fixe.
2) Les droitesM N0etM0N ont pour transformées par inversion les cercles circonscrits aux triangles F N M1 et F M N1. L’axe radical de ces deux cercles contient F et le point G1, transformé par l’inversion du point G commun aux deux droites.
Le pointO, milieu deN M1 et deM N1, a même puissance−1 par rapport aux deux cercles, il appartient à leur axe radical qui est donc la droite fixe OF. En outre −1 = OF ·OG1, ce qui montre que G1, puis G, sont fixes sur OF.
3) La droite M0N0 est transformée par l’inversion en le cercle circonscrit au triangle F M1N1.
Avec des axes de coordonnées Ox selon OF et Oy, le cercle (O) a pour équation x2+y2 = 1.
La droite M1N1 passe par le point (−a,0) symétrique de F par rapport à O et est l’axe radical du cercle circonscrit au triangle F M1N1 et du cercle (O). Son équation est de la forme p(x+a) +qy= 0, le rapportp/q dépendant de l’orientation de la droite M N.
L’équation générale des cercles du faisceau dont M1 etN1 sont les points de base est
x2+y2−1 +p(x+a) +qy= 0.
et ceux qui passent par F(a,0) vérifient a2 −1 + 2pa = 0, ce qui fixe p= (1−a2)/(2a). Quand l’orientation deM Nvarie, les cercles circonscrits aux trianglesF M1N1dépendent deqmais ont en commun les points définis par y= 0, c’est à dire leur intersection avec OF, vérifiant
x2−1 +p(x+a) = 0 =a2−1 + 2pa, d’où (x−a)(x+p) = 0.
L’intersection inclut, outre F, le point H1(−p,0), transformé par l’inver- sion du point H de OF.
OH1 = (a2−1)/(2a),F H1=−(a2+ 1)/(2a), F H = 2a(1−a2)/(1 +a2).
