Enoncé D1850 (Diophante) Les trois compères
Soit un cercle (Γ) de diamètreAB. A partir d’un point courantC de ce cercle, on trace dans le sens horaire la cordeCD de longueur fixeL. Les droites AC etBD se coupent enP, les droites AD et BC en Q et les droitesCD et P QenR.
Déterminer les lieux des trois compèresP, Qet R quand C par- court le cercle (Γ).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit a = arcsin(L/AB), O le milieu de AB, l’unité de longueur étant le rayon de (Γ).
On a la relation entre angles orientés (AB, OD)−(AB, OC) = 2a.
Soit 2b= (AB, OD) + (AB, OC).
Moduloπ (car P n’est pas forcément entreA etC), (AB, AP) = (AB, AC) = (AB, OC)/2 = (b−a)/2.
De même (P B, AB) = (DB, AB) = (DO, AB)/2 = (π−a−b)/2.
Ainsi, modulo π, (P B, AP) =π/2−a, indépendant de bet donc de C. Le lieu de P est l’arc capable de cet angle, cercle passant parA etB.
On passe deP àQen échangeantCetD, donc en changeantaen
−a. Le lieu deQest l’arc capable de l’angle (QB, AQ) =π/2 +a, cercle passant parA etB, symétrique du lieu de P par rapport à la droiteAB.
Pour étudier le point R, je prends des axes Oxy, Ox selon OB.
L’équation de (Γ) estx2+y2 = 1. La droiteCDadmet pour équa- tion xcosb+ysinb = cosa. Elle coupe AB en Z(cosa/cosb,0) ; P Qest la polaire de Z par rapport au cercle, et a pour équation xcosa/cosb= 1.
On en tire les coordonnées deR cosb
cosa,cos2a−cos2b sinbcosa
! . Eliminantb, le lieu deR admet pour équation
(x2+y2)(x2cos2a−1)−x2cos(2a) + cos2a= 0.
C’est une quartique circulaire, symétrique par rapport àAB et à sa médiatrice, asymptote aux droitesx=±1/cosa. Elle passe par A etB, points doubles où se retrouvent les trois compères quend b=±a (mod π).
