D10653. Diamètre tournant
Soit un cercle Γ de centreO et de rayonR, et un point extérieur A.BC est un diamètre variable de Γ.
a/ Lieu de l’orthocentre du triangleABC.
b/ Montrer que le cercle circonscrit et le cercle d’Euler du triangle ABC passent chacun par deux points fixes.
c/ Montrer que la droite joignant les pieds des hauteurs issues deB etC du triangleABC passe par un point fixe.
Solution
a/ Les pieds des hauteurs BB0 etCC0 du triangle ABC sont sur Γ comme B etC; ainsi l’orthocentreH etAsont conjugués par rapport à Γ, et quand le diamètreBC varie,H parcourt la polaire de A par rapport à Γ.
b/ La puissance deOpar rapport au cercle (ABC) est−BC2/4 ;AOrecoupe (ABC) en A0 qui est un point fixe carOA.OA0 =−BC2/4.
Le centre de gravitéGdu triangleABC est surOAavec OG=OA/3, donc fixe.
Le cercle d’Euler passe parO, milieu deBC. C’est le transformé de (ABC) par l’homothétie de centreGet de rapport−1/2, qui transformeAen O et A0 enO0, second point fixe du cercle d’Euler.
c/ La puissance deA par rapport à Γ estAB.AC0 =AC.AB0=AO2−R2; c’est aussi la puissance d’une inversion de pôle A qui laisse Γ globalement invariant, et transforme le cercle (ABC) en la droite B0C0. Le point A0 de la question b/ a pour inverse le point fixe de B0C0.
![Tracer le cercle qui a [AB]pour diamètre](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)