D145. Une rencontre du côté de chez Euler
Soit un triangle ABC ayant pour cercle circonscrit (Γ) et pour cercle d’Euler (γ).Du sommet C, on mène les tangentes au cercle (γ), qui le touchent en X et Y.
Démontrer que les droites AB, XY et la tangente en C au cercle (Γ) sont concourantes en un point Z
Avec des coordonnées barycentriques :
A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), la droite AB : Z=0, Le cercle circonscrit : a²YZ + b²ZX + c²XY = 0
La polaire du point (x, y, z) : a²(yZ+Yz) + b²(zX+xZ) + c²(xY+Xy) = 0 La tangente en C à (Γ) : a²Y + b²X = 0 (c'est la polaire de C(0,0,1) ) Le point (droite AB)∩(tangente en C) : Z(b², – a², 0)
Le cercle d'Euler : bc cosA.X² + ca cosB.Y² + ab cosC.Z² – a²YZ – b²ZX – c²XY = 0 (voir page 32 de Jean Denis EIDEN)
La polaire du point (x,y,z) par rapport à ce cercle d'Euler :
bc cosA.Xx + ca cosB.Yy + ab cosC.Zz – a²(Yz+yZ) – b²(Zx+zX) – c²(Xy+xY) = 0
La droite XY est la polaire de C par rapport à ce cercle d'Euler : on remplace (x,y,z) par (0,0,1) : ab cosC.Z – a²(Y) – b²(X) = 0 .
Les coordonnées (b², – a², 0) du point (droite AB)∩(tangente en C) vérifient cette équation, donc les droites AB, XY et la tangente en C au cercle (Γ) sont concourantes en un point Z.
