D1837. Passage obligé
Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q. Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Le cercle de diamètre BF coupe AC en B'. Le cercle de diamètre CE coupe AB en C'.
Les doites BB' et CC' sont deux hauteurs du triangle ABC, elles se coupent en Habc orthocentre du triangle ABC.Les points BB'CC' sont cocycliques sur le cercle de diamètre BC.
La puissance du point Habc par rapport à ce cercle BB'CC' est HabcB.HabcB' = HabcC.HabcC' . Le point Habc a donc même puissance par rapport aux deux cercles de diamètre BF et CE.
L'axe radical PQ de ces deux cercles passe obligatoirement par le point fixe Habc lorsque [∆] pivote autour de D.
<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>---<>--- Rappel de certaines propriétés d'un quadrilatère complet :
Les 4 cercles circonscrits aux quatre triangles formés par les 4 droites ont un point commun qui est le point de Miquel. Les orthocentres des quatre triangles sont alignés sur une droite Δ.
Les 3 cercles ayant pour diamètres les diagonales du quadrilatère complet font partie d'un même faisceau linéaire d'axe radical Δ.
Les symétriques du point de Miquel par rapport aux 4 droites sont alignés sur Δ (droite de Steiner ).
La seule parabole inscrite dans le quadrilatère complet a pour foyer le point de Miquel et pour directrice Δ.
