Problème: Démontrer que si dans un triangle deux bissectrices BB' et CC' sont égales, alors le triangle ne peut être qu'isocèle.
Soit un triangle quelconque ABC, d'angles 2x, 2y, 2z. Traçons les bissectrices AA', BB', CC', qui sont concourantes en S.
Par hypothèse, BB' = CC'.
Soit un angle quelconque 2x, et sur sa bissectrice AT, un point quelconque S.
Etudions les propriétés de segments BB' et CC' portant à leurs extrémités sur les deux côtés de l'angle, concourants en S situé sur la bissectrice de l'angle en A, et de même longueur.
Prenons pour cela (Cf figure ci-dessous) un segment PQ de longueur quelconque d.
Faisons tourner ce segment autour de S, de façon à ce que son extrémité P reste située sur la droite AB.
Le lieu de l'extrémité Q est la conchoïde de la droite AB construite à distance d sur le point polaire S.
Cette jolie courbe, symétrique par rapport à la normale dressée de S sur AB, est bouclée sur elle-même au point S, si d est suffisant.
Les deux branches infinies situées "avant" S ne sont pas ici exploitables, puisqu'elles concernent des segments qui n'atteignent pas S
Si d est suffisant (supérieur au segment de la normale à AB menée par le point S situé entre AB et AC), AC coupera la conchoïde dans sa boucle au-deçà de S, en deux points, et en deux seulement, car la courbure de la conchoïde est continue sans inflexion.
On constate donc que pour un angle 2x donné quelconque, pour un point S quelconque sur la bissectrice, et pour toute longueur de segment d, également quelconque mais suffisante pour être compatible avec l'angle 2x et le point S choisi, il n'y a que deux segments qui passent par S et sont de longueur d.
Prenons le premier BB'.
Il est clair que son symétrique par rapport à AT est un segment de même longueur, passant par S, dont une extrémité est sur AB et l'autre est à la fois sur AC, par symétrie, et sur la conchoïde, puisqu'il est de longueur d.
Ce segment symétrique de BB' satisfait donc aux conditions énoncées. Comme il n'y a que deux points possibles, le point symétrique de B est donc C, deuxième point d'intersection de la conchoïde et de la droite AC.
Il résulte alors directement de cette symétrie par rapport à AT qu'ABC est nécessairement isocèle en A.
Ainsi une condition suffisante pour qu'un triangle soit nécessairement isocèle en A est que deux obliques situées dans les angles opposés B et C soient de longueur égale et se coupent en S sur la bissectrice AT.
Si l'on veut, en outre, que BB' et CC' soient des bissectrices de leurs angles respectifs (ce qui n'est pas requis pour l'isocélie du triangle, mais figure dans l'énoncé), il faut ajuster d en fonction de x et S:
Soit 2y l'angle du triangle en B et en C, on a
2y = π/2 − x
Pour que BB' soit une bissectrice, il faut que son inclinaison sur BC soit de la moitié, soit y= π/4 − x/2.
Pour un triangle ABC donné, la construction des bissectrices est immédiate.
Pour x et S donnés, on peut déterminer aisément, graphiquement, à la fois l'angle y et la longueur d:
on trace par S une parallèle à AB et une perpendiculaire à AT.
BB' est la bissectrice en S de l'angle de ces deux droites de construction.
CC' est la symétrique par rapport à AT.
