L ECHMÜTZ
Géométrie mixte. Solution nouvelle du problème où il s’agit d’inscrire à un triangle donne quelconque trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle
Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 10 (1819-1820), p. 289-298
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289
GÉOMÉTRIE MIXTE.
Solution nouvelle du problème
oùil s’agit d’inscrire
à un
triangle donne quelconque trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux
autres etdeux
côtésdu triangle ;
Par M. LECHMÜTZ , docteur
enphilosophie à Berlin.
INSCRirT."
DE 3CERC.s
AUN TRIANG.e QUELCONQ.
Au Rédacteur des Annales.
MONSIEUR ,
EN donnant ,
dans votre estimable recueil(*) , l’historique du
curieux
problème
dontje
’ais avoir l’honneur de vousentretenir,
et en faisant connaitre la solution extrèmement
simple eut
en a etédonnée par un celèbre
géomètre italien ;
vous avezternoigné
leregret
qu on
en fût reciuit àjustifier à posteriori
la formule finale deMaliatti ,
enprouvant qu’efte
satisfait auxéquations qu’il s’agit
de
recoudre ;
sansqu on aptrçoive
comment , à l’aide dp ces seuleséquations ,
onpourrait parvenir
à cette mémeforrntcle ,
si elleétait inconnue , ou du moins à toute autre
équivalente
et d’unefacile constructkn.
(*) Voyez
tom. 1 , pag. 343 ; tom. Il, pag. 60 et 165.Tom. X ,
n.°X ,
I.er avril I820.40
290
INSCRIPTION
DETROIS CERCLES
Cette considération
m’ayant
déterminé à revenir de nouveau et tout récemment sur cebingulier problème ; j’ai
été assez heureuxpour en obtenir une solution que sa
simplicité
et sonélégance
vousferont
peut-être juger
de nature à nepoint déparer
votrerecueil
et
qu’en conséquence je
vais exposer brièvement.Soient
A , B ,
C les trois sommets d’untriangle quelconque ;
soit 0 le centre du cercle
inscrit ,
dont nous prenons le rayon pour unité. De ce centre , soient abaisséesrespectivement
sur les côtésBC, CA, AB,
lesperpendiculaires OA’=OB’=OC’=I ;
et soientdc
plus
menées du mêmepoint
aux sommets les droitesOA , OB ,
OC.Soient faits
nous aurons
Nous aurons
de plus ,
parce que303B1+203B2+203B3
vautquatre angle.
droits,
ou
bien
, enchassant le dénominateur
ettransposant ,
A
UN TRIANGLE QUELCONQUE.
29IIl s’agit
doncd’inscrire
à cetriangle
trois cercles tels que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés dutriangle ;
et il estd abord clair que les centres de ces cercles devront être situés sur
les droites
OA , OB ,
OCqui
divisent cesangles
en deuxparties égales.
Soientrespectivement X, Y, Z ,
ces centres , et x, r, z,les rayons
qui
leurcorrespondent.
Si l’on
projette orthogonalement
les centresX ,
Y sur le côtéAB=AC’+BC’=Tang.03B1-Tang.03B2,
leursprojections
diviseront cecôté en trois segmens dont les extrêmes seront évidemment
xTang03B1, yTang
03B2.Quant
ausegment intermédiaire ,
il ne sera autre chose que laprojection
de la distance des centresXY=x+y ,
et seraconséquemment
égalant
donc la somme de ces troisparties
à lapremière expres-
sion du côtéAB,
on auraLa considération des deux autres côtés donnera des
équations
analogues,
de sortequ’en faisant,
pourabréger,
tout se trouvera réduit à
résoudre,
parrapport à
x , r, z, les troiséquations
292 INSCRIPTION DE TROIS CERCLES
avec la condition
En
multipliant
en croix leséquations (2 , 3)
etréduisant ,
on amais
l’équation (4)
donned’où
substituant donc,
etsupprimant
ledénominateur
commun , on auraou encore
ou, en
transposant,
ou encore
ou , en
extrayant
les racines etdivisant
A UN TRIANGLE QUELCONQUE. 293
Nous
ne donnons pas de doublesigne
au secondmembre
de cetteéquation,
parcequ’ici
nous n’avonssimplement
en vue que les cercles interieurs autriangle,
se touchant extérieurement.Par une
simple permutation
delettres,
on conclura de làajoutant
ces deux dernières membre àmembre , z disparaîtra,
et il viendra
mais, à
cause deon a
substituant
donc,
et chassant lesdénominateurs,
ilviendra
Les coefficiens des deux membres
peuvent
d’abord être écrisainsi
en
considérant
ensuite que294 INSCRIPTION
DE TROISCERCLES
ils
prendront
cette nouvelle formec’est-à-dire, qu’ils
ont un facteur commun; ensupprimant
donc cefacteur, l’équation
deviendrasimplement
En posant donc,
pourabréger,
on tirera
de là ,
par unesimple permutation
delettres ,
d’où
Retournons
présentement
à noséquations primitives ;
si de lasomme des
équations (2
,3)
nous retranchonsl’éuation (I) ,
enA UN
TRIANGLE QUELCONQUE. 295
supprimant
lefacteur 2 ,
con mun à tous les termes del’équation résultante ,
elle deviendramettant dans celle-ci pour
x
ety
leurs valeurs(5) ,
elledeviendra
ou
Or,
on a,d’après
les valeurs deA, B,
COn a ensuite
donc,
enajoutant
etréduisant,
En remplaçant abc par
sonéquivalent a+b+c , cela deviendra
296 INSCRIPTION DE TROIS
CERCLESsubstituant donc cette valeur dans
l’équation (6) ,
etsupprimant
lefacteur c , commun aux deux
nembres ,
elle deviendrasimplement
Par une
simple permutation
delettres ,
on obtiendra leséquations
en x , y ; de sorte
qu’on a
finalementCela
pose ,
soientprolongPs AO , BO , CO , jusqu’à
cequ’ils
rencontrent de nouveau la circonference du cercle inscrit en A’’ ,
B’’ , C’’ ; puis
des sommets A ,B , C , pris respecivement
poar centres, et avec les rayonsAB’=AC’ , BC=BA’ , CA’=CB’ ,
soient décrits des arcs coupant
respectivement AO, BO ,
CO enA’’’ , B’’’ , C’’’ ;
nous aurons ainsiLes trois
longueurs A, B,
C étant ainsidéterminées ,
nn enpourra
conclure ,
par une consfrnchonunique ,
les trois rayonscherchés x ,
y, z. Pourcela ,
on c ostmura untriangle DEF ,
dont les trois côtés
EF , FD , DE,
soientrespectivement égaux
àces trois
longuenrs ;
par les sommetsD , E F,
on meneia desdroites se terminant aux côtes
opposés
enD’ , E’ , F’ ,
et tellementdirigées qu’on
aitA g.
A UN TRIANGLE QUELCONQUE. 297
alors,
en vertu de laproportionnalité
des côtéshomologues
destriangles seuiblables ,
leslongueurs DD’ , EE; ,
FF’ seront les dia-mètres des cercles
cherchés, ayant respectivement
leurs centresen
X, Y,
Z.Ces
expressions
des rayons des cercles une foistrouvées ,
riende
plus
facile que de leur substituer telles autres inconnuesqu’on
voudra. En
prenant ,
parexemple ,
pour inconnues les distances des sommetsauxquelles
les cercles cherches touchent les côtés dutriangle ,
ces inconnues serontxTang.03B1=ax , y Tang.03B2=by , zFang.03B3=cz ,
et l’on auraOr ,
d’après
les valeurs trouvées ci-dessus pourcAB
etC-A-B-C),
on a
donc
c’est-à-dire ,
ou encore
Tom. X.
41
298 INSCRIPT.n
DE 3 CERC.s A UNTRIANG.e QUELCONQ.
ce
qui
revient exactement à la construction deMalfatti. ( Voyez l’article cité ,
tom. I , pag.347).
Si l’on veulait
prendre
pour inconnues les distancesAX, BY ,
CZ des sommets aux centres
correspondans , ces
inconnues seraientrespectivement xI+a2 , yI+b2 , zI+c2 ;
et l’ontrouverait ,
par
exemple, d’après
cequi précède ,
Si enfin on voulait
prendre
pour inconnues les distancesOX , OY , OZ ,
ces inconnues seraientrespectivement (I-x I+a2 , (I-y)I+b2 , (i
; et l’ontrouverait,
parexemple
En variant les
signes
des radicaux d’une manièreconvenable ,
et ensubstituant au cercle
inscrit, proprement dit ,
chacun des trois autrescercles
qui
peuvent toucher à la fois les trois côtés dutriangle,
on obtiendra toutes les solutions dont le
problème peut
êtresusceptible (*).
Berlin ,
le 23janvier
1820.(*) La
simplicité
de cette solution engagerapeut-être quelqu’un à
tenter celledu problème
analogue
pourle , tétraèdre , qui
a étéproposé
à la page287.
du II.e volume de ce recueil.
y. D. G.