D1837. Passage obligé ***
Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q. Démontrer que lorsque (∆) pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.
PROPOSITION Th Eveilleau
Soient H1 et H2 les pieds des hauteurs issues respectivement de B et de C dans le triangle ABC.
Les points H1, H2, B et C sont cocycliques sur le cercle de diamètre [BC].
Nous avons donc avec la puissance du point H orthocentre du triangle ABC : HH1*HB = HH2*HC (*)
Par ailleurs,
- l’angle droit FH1B implique que H1 est situé sur le cercle de diamètre [BF] ;
- de même l’angle droit CH2E implique que H2 est situé sur le cercle de diamètre [CE].
Dans le cercle de diamètre [BF], la puissance de H par rapport à ce cercle est : HH1*HB.
Dans le cercle de diamètre [CE], la puissance de H par rapport à ce cercle est : HH2*HC.
La relation (*) implique que la puissance de H est identique dans les deux cercles de diamètre [BF]
et [CE].
H est donc situé sur l’axe radical des deux cercles. Et cet axe radical est la droite (PQ).
Ainsi lorsque la droite (∆) pivote autour d’un point D du segment [BC], la droite (PQ) passe par le point fixe H qui est l’orthocentre du triangle ABC.
