D1823 ‒ Une harmonieuse configuration [*** à la main]
Soit un triangle acutangle ABC ayant H pour orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC. Un cercle passant par les points B et C et le cercle de diamètre AH se coupent en deux points distincts X et Y. Le point D se projette en K sur la droite XY. Démontrer que la droite BK est la bissectrice de l'angle
BKC.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Une remarque : il y a trois cercles et 3 axes radicaux (AB) , (RS) & (XY), un chacun pour 2 des 3 cercles . 1°) Soit C1 , le cercle de diamètre AH ; ce cercle est fixe et passe par les 6 points A , H , X , Y , R & S . R
& S sont les pieds des 2 hauteurs CR et BS . Les points X et Y sont les seuls points variables . Le triangle ABC étant acutangle non isocèle en A , on peut affirmer qu'il existe un point O appartenant aux droites (XY) et (RS) tel que P(O)/C1 = OX x OY = OR x OS . P(O)/C1 est la puissance du point O par rapport au cercle C1 .
2°) Soit C2 le cercle variable de corde AB et interceptant le cercle C1 aux points X et Y . On peut de même affirmer qu'il existe un point O' , intersection des droites (AB) et (XY) ) tel que P(O')/C2 = O'X x O'Y = O'A x O'B est la puissance du point O' par rapport au cercle C2 .
3°) Soit C3 le cercle fixe de diamètre BC . Ce cercle passe par les deux points R et S , pieds respectifs des hauteurs issues de C et B dans le triangle ABC .
On peut affirmer qu'il existe un point O" tel que P(O")/C3 = O"B x O"C = O"R x O"S .
Maintenant , parmi ces 3 points O , O' et O" , il y en a toujours un appartenant à 2 des 3 axes radicaux (AB) , (XY) & (RS) .
Ces 3 points sont donc confondus . Alors OB.OC = OX.OY = OR.OS = OT² . O est bien le centre radical des 3 cercles C1 , C2 & C3
Les 2 points R et S sont les pieds des 2 hauteurs issues de C et B ; D est le pied de la troisième
Dans ce cas , comme la droite (RS) coupe la droite (BC) en O , alors les 2 points O et D forment avec les points B & C une division harmonique de rapport BD/DC . Ainsi : OB/OC = DB/DC . Le point O étant aussi l'intersection de (BC) & (XY);dans ce cas , les deux droites (KO) et (KD) étant perpendiculaires , interceptant la droite (BC) aux points O & D et formant une division harmonique avec les points B & C sont donc les bissectrices extérieure et intérieure de l'angle K dans le triangle BKC .
