D179. Biencalé sur l’hypoténuse
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur is- sue du sommet B de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles inscrits aux triangles ABC, ABH et BCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Sean los lados del triángulo de semiperímetro ; los círculos -inscritos en y -, de centros y y radios y respectivamente y el punto de tangencia de en . Se tienen y .
Desde trazamos perpendiculares a los catetos y , que cortan a éstos en los puntos y respectivamente. Se forman dos nuevos triángulos rectángulos semejantes al inicial .
En tenemos que y por ello y . La razón de semejanza de y es y si , y . Esto implica que y es un diá- metro del círculo inscrito .
De ahí deducimos que es el centro del círculo que pasa por y .
Un razonamiento análogo con el triángulo (sólo hay que permutar las letras y ) nos llevaría a concluir que también , y por tanto es el centro de la circunferencia que pasa por y .
