Bien calé sur l'hypoténuse
Problème D179 de Diophante
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit.
Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles inscrits aux triangles ABC, ABH et BCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Solution
Soit ABC un triangle rectangle en B et H le pied de la hauteur issue de B.
Notons I le centre du cercle inscrit à ce triangle et P, Q, R les projections orthogonales de I sur BC, CA, AB. Ainsi, on a IP = IQ = IR.
Notons t la translation telle que t(I) = Q et soient J = t(P), L = t(B).
Il apparaît alors le losange PIQJ qui montre que J est sur la médiatrice de PQ, tout comme C puisque CP = CQ. Ainsi J est à égale distance des droites CA et CB.
Il apparaît aussi le losange BLJP qui montre que J est à égale distance des droites BC et BH.
Ainsi, J est le centre du cercle inscrit au triangle BCH.
De même, soit K = t(R). Il est le centre du cercle inscrit au triangle BAH.
En outre, les trois distances QI, QJ, QK sont égales.
Le point Q, bien calé sur AC, est le centre du cercle inscrit à IJK.
