D179. Bien calé sur l'hypoténuse
– E, F, et G sont les centres des cercles inscrits dans les triangles ABC, ABH et BCH ; O et T sont les projections normales de E sur AC et AB, S et R celles de F sur AC et AB.
– La similitude des triangles ABC et ABH entraine AT / AB = AS / AH : ST est // à BH, donc | à AC => S, F et T sont alignés.
– De la même façon, OR est // à BC, donc | à BC => O, F et R sont alignés.
– ETFO est un losange (et comme EO = ET) => E et F sont sur le cercle (O, OE).
– La similitude de ABC et de BCH entraine aussi OE = OG.
– M est l'intersection de BF et de AC. La bissectrice de l'angle (AOR) est // à CE, et CE est | à BF (par suite de l'égalité des angles ABH et ACB). M est symétrique de F par rapport à la bissectrice pré-citée. Donc M est sur le cercle (O, OE), et N aussi.
– K et L sont les centres des cercles exinscrits au triangle ABC dans les angles en C et en A;
P et Q sont les projections normales de K et L sur AC.
– Le cercle (P, PK) est tangent au cercle (O, OE) en M. Le cercle (Q, QL) est tangent en N au cercle (O, OE).
– Lorsque AB varie de -∞ à +∞, BC restant constant, les points O, P et Q dessinent les parties conjointes d'une jolie courbe en cœur avec des branches infinies asymptotiques à AB.
