D.179 Bien calé sur l'hypoténuse Solution proposée par Pierre Renfer
Soient
, ,
les angles en A,B,C du triangle ABC.Les longueurs des côtés du triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
On choisit l'unité de longueur pour que :
1
sin
CA
,AB sin cos
,BC sin
On en déduit les longueurs des autres segments :
AB cos cos
2AH
BC cos sin sin
2CH
AB sin sin cos BH
On choisit le repère orthonormé d'origine H, admettant l'hypoténuse (AC) comme axe des x pour que les coordonnées des sommets du triangle soient :
0 cos A -
2
0 C sin
2
cos sin
B 0
Le centre du cercle inscrit d'un triangle est barycentre des sommets du triangle avec comme coefficients les longueurs des côtés opposés.
Le point I est barycentre de
( A , sin )
,( C , cos )
et( B , 1 )
Le point J est barycentre de( A , sin )
,( B , cos )
et( H , 1 )
Le point K est barycentre de( C , cos )
,( B , sin )
et( H , 1 )
On en déduit que les points I, J, K sont les images de I', J', H' par l'homothétie de centre H et de rapport
cos sin
1
cos
sin
, où I', J', H' ont les coordonnées suivantes :1
cos - ' sin
I
cos
cos
J' -
sin
' sin K
Pour montrer que le centre du cercle (IJK) est sur l'axe des x, il suffit de montrer que le centre du cercle (I'J'K') est sur l'axe des x.
Il s'agit de trouver une équation de cercle
( x a )
2 y
2 r
2, qui soit satisfaite par les coordonnées de I', J', K' :En remplaçant (x,y) par les coordonnées de J' et K', on obtient le système :
2 2 2
2 2 2
r a sin a 2 sin 2
r a cos a 2 cos 2
En faisant la différence et la somme des deux lignes, on trouve :
1 r
cos sin
a
Et l'on vérifie que pour ces valeurs de a et r, l'équation du cercle est aussi satisfaite par K'.
