Enoncé D179 (Diophante) Bien calé sur l’hypoténuse
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommetB de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles inscrits aux triangles ABC,ABH etBCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Axes de coordonnéesHx selonHA,Hy selonHB.
Les triangles ABC, ABH et BCH ont respectivement I, J, K comme centres du cercle inscrit.
Les points de contact du cercle inscrit d’un triangle rectangle issues du sommet de l’angle droit forment un carré avec ce sommet et le centre du cercle.
A partir des côtés des triangles, on obtient les rayons, égaux aux tangentes menées des sommets des angles droits :
rI = (AB+BC−AC)/2, puis, par proportionnalité terme à terme rJ = (HA+HB−AB)/2 =rIcosA;
rK = (HB+HC−BC)/2 =rIsinA,
HJ et HK sont bissectrices de l’angle AHB, d’où les coordonnées J(rJ, rJ) etK(−rK, rK) ; l’équationZJ2−ZK2 = 0 fournit le pointZ(z,0) intersection de l’hypoténuse et de la médiatrice du segmentJ K :
0 = (z−rJ)2+r2J−(z+rK)2−r2K = (rJ+rK)(rJ−rK+rJ−rK−2z).
HZ=z=rJ −rK = (HA−AB−HC+BC)/2,
CZ=CH+HZ = (CA+CB−AB)/2, ce qui montre queZ est le point de contact de AC et du cercle circonscrit au triangleABC. Le cercle de centreZ passant parI a donc pour rayonrI.
ZJ2 = ZK2 = r2J +rK2 = rI2, donc J et K appartiennent à ce cercle, CQFD.
Remarque.
Les coordonnées deZ, comparées à celles deJ etK, montrent que l’angle J ZK est droit ; l’angleJ HK aussi, puisque le triangleBCH est le trans- formé de ABH par la similitude de centre H, d’angle π/2 et de rapport tanA. Ainsi H etZ appartiennent tous deux au cercle de diamètreJ K.
