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La somme des longueurs des côtés est

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Academic year: 2022

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(1)

05 08 D282

Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satistait les conditions suivantes : 1) ses côtés ont pour longueur les entiers naturels 1,2,...,2013 pas nécessairement pris dans cet ordre.

2) le polygone est inscrit dans un cercle .

On cherche le rayon R du cercle circonscrit à ce polygone convexe.

La somme des longueurs des côtés est 2013(1+2013)/2 = 2027091.

En première approximation, le périmètre du cercle, 2ΠR doit être égal à 2027091.

Et R est voisin de 2027091/2Π soit 322621.

Evaluation précise : Chaque corde de longueur n est vue du centre sous l'angle 2 Arcsin (n/2R).

La somme de ces 2013 angles doit être exactement 2Π.

On doit trouver R tel que, pour n de 1 à 2013, ∑ Arcsin (n/2R) = Π.

Je trouve R = 322621,815.

L'ordre dans lequel on place les 2013 côtés est sans importance.

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