A4902 − La traversée de la diaogonale [*** à la main]
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont des nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que le périmètre du rectangle est ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Jean Nicot
La diagonale AC rencontre les p+1 horizontales du damier et chaque point d’intersection est le sommet de deux (ou un aux extrémités) triangles dont les parties horizontales sont l’unité. Toutes les parties horizontales ont un cumul de p+1.
Il y a donc q-(p+1) carrés traversés par AC sans générer de triangles.
Les petits triangles sont tous homothétiques à ABC. La somme de leurs côtés verticaux est donc (p+1) p/q.
La somme de leurs hypoténuses est donc AC (p+1)/q. Pour que la somme S des périmètres des triangles soit rationnelle, AC doit être un entier et ABC un triangle pythagoricien.
S =p+1 + p(p+1)/q + (p+1)/q = (p+q+ )/3 ou (3p+3-q)*(p+q- d’où q= 3p+3 S = p+1+p/3+ /3
Comme la somme des périmètres des triangles est un entier (p+q) doit être divisible par 3 Avec a et b entiers , p=a²-b², q=2ab AC=a²+b² pour obtenir ABC pythagoricien
Un tableur, testant la condition q=3p+3, fournit a=18, b=13, p=155, q=468, AC=493 et S=372.
