B145 – Triangles magiques [** à la main]
Remplir un tableau 3x3 avec neuf entiers positifs distincts de sorte que :
- les trois entiers de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale sont les longueurs des côtés d’un triangle non dégénéré,
-les périmètres des huit triangles sont identiques.
Les triangles ainsi obtenus sont appelés magiques. Trouver trois tableaux de sorte que l’aire de l’un au moins des huit triangles magiques est un nombre entier.
Solution proposée par Daniel Collignon
Nous pouvons paramétrer un tel carré magique sous la forme :
a b c
d e f
g h i
Où tous les nombres sont exprimés avec 3 paramètres, par exemple, a, b et e.
Ainsi c=3e-a-b, d=4e-2a-b, f=2a+b-2e, g=a+b-e, h=2e-b, i=2e-a
La somme magique vaut 3e.
L'inégalité triangulaire implique que tous les éléments sont < 3e/2.
Modulo des symétries, nous pouvons supposer a<c, a<g, a<i, ce qui renforce quelques inégalités entre les paramètres.
Un automate fournit rapidement 3 solutions de périmètre minimal (36).
8 15 13
17 12 7
11 9 16
9 13 14
17 12 7
10 11 15
9 14 13
16 12 8
11 10 15
Dans ces 3 cas, il y a présence d'un triangle rectangle (9,12,15) = 3 * (3,4,5), d'aire entière 54.
