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Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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E214 – Les punitions de Zig et de Puce [*** à la main]

Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:

E₁ Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.

Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.

E₂ Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une

troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...

Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)ième colonne et ceux la kième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau Tk de 2019 lignes et k colonnes.

Q₁ Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.

Q₂ Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau Tk.Q₃ Décrire une liste de 2019 entiers telle que Tk

contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

E1 Pour avoir la même lecture sur les deux colonnes dans des sens différents, il suffit de prendre des nombres pairs qui sont écrits autant de fois que leur valeur et de les écrire de façon symétrique par rapport au milieu des colonnes.

Soit 2 nombres 2, un écrit en première position, l’autre en dernière, 4 nombres 4, 2 écrits en 2ème et 3ème position et 2 écrits en pénultième et antepénultième position et ainsi de suite. On complète les positions vides du milieu par le nombre impair de ces positions répété autant de fois que sa valeur.

La plus petite valeur de n qui convient est 88. On a alors avec les nombres pairs écrit 1980 nombres et il reste 39 nombres 39 à écrire au milieu de la colonne.

E2

A partir de la troisième colonne, ou on a l’égalité avec la colonne précédente auquel cas le processus s’arrête, ou on a réduit d’au moins une unité le nombre de nombres différents écrits sur la colonne 3 par rapport à la colonne 2. En poursuivant le processus va s’arrêter puisqu’on a un nombre limité , au plus 63 nombres différents sur la colonne 2 (Un nombre écrit une fois, un nombre écrit 2 fois,…, un nombre écrit 63 fois).

Quand on passe d’une colonne à une autre, on réduit le nombre de nombres différents d’au moins une unité, cela veut dire que le nombre qui a été réduit a été remplacé par un nombre qui est au minimum égal à son double.

Pour avoir le maximum de colonnes on part du nombre 1 à la deuxième colonne, que l’on doit doubler à chaque étape suivante. Comme le nombre doit être inférieur à 2019, cela fait 10 étapes au maximum et donc un tableau de11 colonnes au maximum.

Le tableau ci-dessous montre une liste possible de nombres de départs répondant à la question.

(2)

Colonne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ligne

1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 512 1024 2 2 1 2 4 8 16 32 64 128 512 1024 3 3 2 2 4 8 16 32 64 128 512 1024 4 3 2 2 4 8 16 32 64 128 512 1024 5 4 4 4 4 8 16 32 64 128 512 1024 6 4 4 4 4 8 16 32 64 128 512 1024 7 4 4 4 4 8 16 32 64 128 512 1024 8 4 4 4 4 8 16 32 64 128 512 1024 9 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 10 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 11 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 12 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 13 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 14 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 15 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024 16 5 8 8 8 8 16 32 64 128 512 1024

513 11 512 512 512 512 512 512 512 512 512 1024

1024 11 512 512 512 512 512 512 512 512 512 1024

1025 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1026 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1027 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1028 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1029 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1030 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1031 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1032 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1033 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1034 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1035 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1036 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1037 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1038 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1039 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1040 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980 1041 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980 1042 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980

2017 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980 2018 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980 2019 15 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980

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