Statistical Physics 3 4 December 2009 S´erie 12
On s’int´eresse `a l’objet fractal appel´e Sierpinsky Gasket. Cet objet est construit en enlevant chaque fois un triangle au milieu de chaque triangle existant.
a) Trouver la dimension fractaleDf du Sierpinsky Gasket.
b) Imaginons un mod`ele d’Ising sans champs magn´etique sur un r´eseau form´e `a partir du Sierpin- sky Gasket en r´ep´etant l’op´eration d’enlever un triangle au centre de chaque triangle existant.
Il y a donc un spin sur chaque sommet des triangles qui interagit uniquement avec ses proches voisins.
Renormaliser le syst`eme en effectuant les sommes surs2,s4,s6, comme indiqu´e dans la figure 1 en posantβJ=Ket exp(Ks1s2) =cosh(K)(1+s1s2tanh(K)).
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Figure 1:
c) Ecrire sous forme implicite (i.ehi(v0,C0) = fi(v,C)aveci=1,2) les 2 ´equations de la transfor- mation de renormalisation pourv=tanh(K)etCla constante multiplicative habituelle.
d) Montrer quev=0 etv=1 sont deux points d’´equilibre de la transformation.
e) Siv6=1, on peut diviser la premi`ere des ´equations obtenues au point 2 par la deuxi`eme, ce qui fait disparaˆıtreC. Il reste une ´equation de la formeh(v0) =f(v). Montrer quev=0 est un point stable en prouvant que|¡
h−1(f(v=0))¢0
|<1.
f) On peut montrer en r´esolvant num´eriquement l’´equation qu’il existe un troisi`eme point d’´equilbre v∗ avec 0<v∗<1 tel queh(v∗) = f(v∗), maish0(v∗)6= f0(v∗) . En conclure que le syst`eme admet une transition de phase.
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