( C -c) Les classes d’isomorphie des sous-objets de chaque objet de C constituent un ensemble.

Appendice. Objets quasi-projectifs. (Par Alberto Arabia.) Soit C une cat´egorie ab´elienne v´erifiant:

(C-a) Tout syst`eme inductif de C poss`ede une limite inductive dans C . (C-b) Pour tout ensemble partiellement ordonn´ e et filtrant sup´erieurement A :=

(A, ) , le foncteur lim −→ de la cat´egorie des syst`emes inductifs de C param´e- tr´es par A vers la cat´egorie C , est exact.

( C -c) Les classes d’isomorphie des sous-objets de chaque objet de C constituent un ensemble.

Remarques, notations et rappels

• Les propri´et´es (C-∗) sont v´erifi´ees lorsque C est une cat´egorie de modules.

• La propri´et´e ( C -a) est ´equivalente ` a l’existence de sommes directes arbitraires.

• La propri´et´e ( C -b) concerne uniquement l’exactitude ` a gauche du foncteur

−→ lim qui est toujours exact ` a droite. Les morphismes canoniques M α →

−→ lim M A des objets d’un syst`eme inductif filtrant de monomorphismes M A :=

{M α ϕ

− − − − − − − − − → − M β } αβ∈A vers une limite inductive de M A , sont donc des mono- morphismes. De mˆeme, une limite inductive d’un syst`eme inductif filtrant de sous-objets d’un objet M est un sous-objet de M.

• Pour Q ∈ Ob(C) , on notera E _Q := Mor _C (Q, Q) et Mod -E _Q la cat´egorie des E _Q -modules ` a droite. Le foncteur Mor <sub>C</sub> (Q, ) : C Mod -E <sub>Q</sub> admet un ad- joint ` a gauche que nous noterons ( ) ⊗ Q : Mod -E _Q C ; c’est un foncteur exact ` a droite qui commute aux limites inductives et v´erifie E _Q ⊗ Q = Q .

• L’objet Q est dit de type fini dans C si pour tout syst`eme inductif filtrant de monomorphismes M A (cf. ci-dessus) l’application canonique

−→ lim ^α Mor _C (Q, M α ) → Mor _C (Q, −→ lim ^α M α ) est bijective.

En particulier,

α∈A Mor _C ( Q , M α ) ≡ Mor _C ( Q ,

α∈A M α ) , pour toute famille {M α } α ∈ A d’objets.

Un quotient d’un objet de type fini est de type fini.

A.1. Q -torsion

D´ efinition. Soient Q et M deux objets de C . On dira que M est de Q-torsion si Mor _C (Q, M) = 0; et que M poss`ede de la Q-torsion, s’il existe un sous-objet non nul de M qui est de Q-torsion.

On notera T _Q {M} la famille des sous-objets de Q-torsion de M ordonn´ee par

la relation d’ordre partiel “sous-objet de”.

Proposition 1. Soit Q un objet de type fini dans C .

(a) Pour tout objet M, la famille T _Q {M} poss`ede des ´el´ements maximaux.

(b) Soit N un ´el´ement maximal de T _Q {M} de conoyau ν : M M , alors M est sans Q -torsion et Mor _C ( Q , ν) est injective.

Supposons que Q est un objet projectif d’une sous-cat´egorie pleine D _Q de C, qui est stable par sommes directes et par sous-quotients dans C .

(c) Pour chaque objet M de D _Q , la famille T _Q {M} poss`ede un unique objet maximal qu’on notera T Q ( M ) .

(d) Soient M 1 , M 2 ∈ Ob(D _Q ) et ϕ ∈ Mor _C (M 1 , M 2 ) , on a ϕ(T _Q (M 1 )) ⊆ T Q ( M 2 ) d’o` u un morphisme induit T Q (ϕ) : T Q ( M 1 ) → T Q ( M 2 ). La corre- spondance T _Q : D _Q D _Q qui associe M T _Q (M) et ϕ T _Q (ϕ) est fonctorielle.

(e) Un conoyau L Q de la transformation naturelle de foncteurs T Q ( ) → id _D

est un adjoint ` a gauche du foncteur d’inclusion D <sub>Q</sub> ⊆ D <sub>Q</sub> , o` u D _Q d´esigne la sous-cat´egorie pleine de D _Q des objets sans Q-torsion.

D´ emonstration (a) Lemme de Zorn.

(b) Pour R ⊆ M de Q -torsion, on a une suite exacte courte:

0 → N − − − − − − − − − ^ − − → − − ν ^{− 1} ( R ) − − − − − − − − − − → − → − − R → 0

o` u Mor _C ( Q , ) est bijectif. Par cons´equent, Mor _C ( Q , ν ^{− 1} ( R )) = 0, et p ar la maximalit´e de N ,  est un isomorphisme et R = 0.

(c) La cat´egorie D _Q est ab´elienne et donc stable par limites inductives dans C.

Comme Q est projectif la somme de deux sous-objets de Q -torsion de M est encore de Q-torsion, la famille T _Q {M} est alors filtrante et sa limite est le sous-objet de M not´e T _Q (M) .

(d) Il suffit de montrer que pour tout ´ epimorphisme p : N N dans C , o` u N est un objet de D _Q de Q-torsion, l’objet N est encore de Q-torsion. Ceci r´esulte du fait que D Q est stable par quotient et que par la projectivit´ e de Q dans D _Q , Mor _C (Q, p) est surjective.

(e) Pour tous N ∈ Ob( D _Q ) et M ∈ Ob( D Q ) , on a l’´epimorphisme ν : M L _Q (M) et l’application naturelle:

Mor _C ( L Q ( M ), N ) − − − − ^Mor − − − − − − − − − − − −

− − − − ^(ν, − − − − − − − − ^N − − − − → − ⁾ Mor _C ( M , N )

est trivialement bijective.

A.2. Cat´ egories C Q,∗ et C _{Q , ∗} D´ efinitions

• On note C Q la sous-cat´egorie pleine de C dont les objets sont les quotients des sommes directes de copies de Q . La cat´egorie C Q est stable par limite inductive et par quotients dans C . On note C _Q la sous-cat´egorie pleine de C _Q des objets sans Q-torsion.

• Un objet M de C Q sera dit Q -fini, s’il est quotient d’une somme finie de copies de Q . Plus g´en´eralement, M ∈ Ob( C Q ) sera dit Q -quasi-coh´erent (resp. Q - coh´erent), s’il est le but d’un conoyau d’un morphisme entre sommes directes (resp. finies) de copies de Q .

• On notera C Q, coh , C Q, q-coh , C Q,f. , C _Q,f. les sous-cat´egories pleines de C Q

des objets respectivement Q-coh´erents, Q-quasi-coh´erents, Q-finis et Q-finis sans Q -torsion.

• Les notations Mod coh -E _Q , Mod t.f. -E _Q d´esigneront, les sous-cat´egories pleines de Mod -E _Q des E _Q -modules respectivement coh´erents et de type fini.

On a les ´egalit´es d’image essentielle:

C _Q , q-coh =

Mod -E _Q

⊗ Q ; C _Q , coh =

Mod coh -E _Q

⊗ Q .

Proposition 2

1) Si C Q est stable par “sous-objets dans C ”, on a C _Q = C _Q , q-coh = C _Q . 2) Lorsque Q de type fini dans C , il y a ´equivalence entre:

(a) Les quotients de Q dans C sont sans Q-torsion.

(b) C _Q = C _Q . D´ emonstration

1) Lorsque les sous-objet dans C des objets de C _Q sont dans C _Q , le noyau de tout ´epimorphisme

A Q M est un quotient d’une somme de copies de Q et C _Q = C _Q ,q-coh ; d’autre part, tout sous-objet N de Q-torsion de M est quo- tient d’une somme de copies de Q ce qui n’est possible que si N = 0, donc C _Q = C _Q .

2) (a)⇒(b). Soit un ´ epimorphisme p :

A Q M, et supposons qu’il existe un sous-objet N ⊆ M non nul de Q -torsion. Il existe alors une partie finie F ⊆ A telle que p(

F Q) rencontre N. En effet, autrement pour tout conoyau ν : M R de N ⊆ M , les restrictions de ν aux images p(

F Q ) seraient

des monomorphismes et comme M est la limite inductive du syst`eme (filtrant)

d´efini par ces images, il en r´esulterait que ν est lui-mˆeme un monomorphisme et alors N = 0. Soit donc F ⊆ A de cardinal minimum tel que p(

F Q) rencontre N ; notons F := { 1, . . . , r } et µ : M M un conoyau pour p(

i=2,...,r Q ) ⊆ M . Comme p(

i=2,...,r Q ) ne rencontre pas N , la restric- tion de µ ` a N est un monomorphisme et Mor _C (Q, µ(N)) = 0. Le morphisme µ ◦ p :

i=1,...,r Q → M se restreint au premier facteur de la somme en ques- tion, d’o` u un morphisme Q → M dont l’image rencontre µ(N) et comme µ(N) = 0, l’objet Q ` a un quotient qui poss` ede de la Q-torsion.

L’implication (b) ⇒ (a) est triviale.

A.3. Objets quasi-projectifs. Un objet Q sera dit quasi-projectif si pour tout

´epimorphisme p : Q M , l’application

Mor _C (Q, p) : E _Q − − − − − − − − − − − − → − Mor _C (Q, M)

est surjective. Il sera dit quasi-projectif de type fini, si de p lus Q est de type fini dans C .

Cat´ egorie D Q

Pour tout objet Q , on note D _Q la sous-cat´egorie pleine de C des objets M tels que, pour tout ´epimorphisme p : M M , l’application canonique:

Mor _C ( Q , p) : Mor _C ( Q , M ) − − − − − − − − − − − → − − Mor _C ( Q , M ) est surjective.

Proposition 3. Pour tout objet Q , on a:

1) Tout sous-quotient dans C d’un objet de D _Q est un objet de D _Q .

2) D Q est une sous-cat´egorie ab´elienne de C et l’inclusion D Q ⊆ C est un foncteur exact.

Supposons en plus Q de type fini dans C , alors:

3) D _Q est stable par limites inductives et sommes directes dans C.

D´ emonstration

1) Soit M un objet de D Q et consid´erons une suite exacte courte dans C : 0 → N − − − − − − − − ^α − − − → − − M − − − − − − − − ^β − − − → − − L → 0 .

Pour L ⊆ L , notons M = β ^{− 1} ( L ) . Le morphisme β induit alors un isomor-

phisme β : M / M → L / L et chaque morphisme ϕ : Q → L / L ≡ M / M se

rel`eve en un morphisme ψ : Q → M. Le morphisme ˜ ϕ := β ◦ ψ : Q → L rel`eve

ϕ. Donc L ∈ Ob(D _Q ) .

Pour chaque N ⊆ N on a un diagramme commutatif de lignes et colonnes exactes:

0 0

↓ ↓

N  − − − − − − − ⁼ − − − − → − − N 

0 → N  − − − − − − − − ^α − − − → − − M  − − − − − − − − − − − ^β − − − − − − − − → − L   ^≡ → 0

0 → N

N − − − − − − − − ^α − − − → − − M

N − − − − − − → − − coker(α) → 0

↓ ↓

0 0

d’o` u un morphisme de suites exactes ` a gauche:

0 → Mor _C  ( Q , N ) − ^Mor − − − − − − − − − − − − −

− − − − ^(Q,α) − − − − − − − − − → − Mor _C  ( Q , M ) − ^Mor − − − − − − − − − − − − −

− − − ^(Q,β) − − − − − − − − − − → − Mor _C  ( Q _≡ , L )

0 → Mor _C Q , N

N

Mor

( Q ,α)

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − → − Mor _C Q , M

N − − − − − − − − − − − → − − Mor _C ( Q , coker(α)) dans lequel le morphisme vertical central est surjectif puisque M ∈ Ob(D _Q ) ; la surjectivit´e de la premi`ere fl`eche verticale en d´ecoule et N ∈ Ob(D _Q ) . 2) Soient M 1 , M 2 ∈ Ob(D _Q ) . Pour chaque N ⊆ M 1 ⊕ M 2 on a un diagramme

de lignes et colonnes exactes:

0 0 0

↓ ↓ ↓

0 → i ⁻¹ ₁  (N) − − − − − − − − − − − − − − − − ⁱ − −

− − − − − − − − − − − → − − N  − − − − − − − − − − − − − − − ^π − − − −

−

− − − − − − − − − → − − π 2  (N) → 0 0 → M  1 − − − − − − − − − − − i − −

− − − − − − → − M 1 ⊕  M 2 − − − − − − − − − − π − − − −

− − − − − → − M  2 → 0

0 → M 1

i ⁻ ₁ ¹ (N)

ı

− − − − − − − − − − − → − − M 1 ⊕ M 2

N

π

− − − − − − − − − − − → − − M 2

π ₂ ( N ) → 0

↓ ↓ ↓

0 0 0

o` u i <sub>1</sub> est l’injection canonique sur M 1 ⊗ 0, et π <sub>2</sub> est la projection canonique sur le second facteur de M 1 ⊕ M 2 . On a not´e π <sub>2</sub> la restriction de π <sub>2</sub> ` a N et i ₁ la restriction de i 1 ` a i <sup>−1</sup> <sub>1</sub> (N) . Le foncteur Mor <sub>C</sub> (Q, ) , appliqu´ e au deux derni`eres lignes, donne un diagramme commutatif de lignes exactes ` a gauche:

0 → Mor _C (  Q , M 1 ) → Mor _C ( Q ,  M 1 ⊕ M 2 ) → Mor _C (  Q , M 2 ) → 0

0 → Mor _C

Q , M 1

i ⁻¹ ₁ (N) → Mor _C

Q , M 1 ⊕ M 2

N → Mor _C

Q , M 2

π 2 (N) → 0

o` u la premi`ere ligne est exacte puisque scind´ee et les morphismes verticaux de gauche et de droite sont surjectifs puisque M 1 , M 2 ∈ Ob( D Q ) . Il s’ensuit que la deuxi`eme ligne est exacte, puis que le morphisme central est surjectif. Par cons´equent M 1 ⊕ M 2 ∈ Ob( D Q ) et la cat´egorie D Q est additive.

La fin de la preuve de (2) est alors cons´equence imm´ediate de (1).

3) Soient A = (A, ) un ensemble partiellement ordonn´ e filtrant sup´erieurement et M _A := {ψ β,α : M α → M β } α β ∈A un syst`eme inductif d’objets de D <sub>Q</sub> . Notons  α : M α → −→ lim M <sub>A</sub> le morphisme canonique. Pour tout ´ epimorphisme p : lim −→ M <sub>A</sub> N dans C , l’objet N est limite inductive filtrante des sous- objets p( α (M α )) et pour chaque ϕ ∈ Mor <sub>C</sub> (Q, N) , il existe un indice α tel que im(ϕ) ⊆ p( α (M α )) ; comme M α ∈ D <sub>Q</sub> , le morphisme ϕ se rel`eve en un morphisme ψ _α : Q → M α et la compos´ee  _α ◦ ψ _α rel`eve ϕ ` a lim −→ M A .

On en d´eduit la stabilit´ e de D Q par sommes directes, puis, ` a l’aide de (1), la stabilit´e par limites inductives arbitraires.

Th´ eor` eme 4

1) Pour tout objet Q quasi-projectif , le foncteur

Mor _C (Q, ) : C _Q ,coh Mod coh -E _Q est une ´equivalence de cat´egories.

2) Pour tout objet Q quasi-projectif de type fini, les foncteurs

 



 

(b-1) Mor _C (Q, ) : C _Q , q-coh Mod -E _Q , (b-2) Mor _C ( Q , ) : C _Q Mod -E _Q , (b-3) Mor _C ( Q , ) : C _{Q, f.} Mod _t.f. -E _Q , sont des ´equivalences de cat´egories.

D´ emonstration

1) Q est un objet de D Q puisque quasi-projectif et alors C Q, coh ⊆ D Q (prop. 3).

Pour tout objet M de D Q la transformation naturelle:

Φ( , M) : Mor _C ( , M) − − − − − − − − − − − → − − Hom E

(Mor _C (Q, ), Mor _C (Q, M))

relie deux foncteurs exacts ` a droite sur D Q puisque Q y est projectif. Il s’ensuit que Φ(N, M) sera bijective pour tout N ∈ Ob(C _Q , coh ) , si Φ(

F Q, M) est bi- jective pour tout ensemble F , c’est-` a-dire, si Φ(Q, M) est bijective pour tout M, ce qui est tautologique. Enfin, il est clair par la projectivit´ e de Q que tout E _Q -module coh´erent est de la forme Mor _C (Q, M) avec M ∈ Ob(C _Q ,coh ) . 2) Comme Q est quasi-projectif de type fini la cat´egorie C _Q est contenue dans

D _Q o` u Q est projectif (prop. 3).

La preuve de (1) montre ´egalement que Mor _C ( Q , ) : C Q,q-coh Mod -E _Q est une ´equivalence de cat´egories d’inverse son adjoint ` a gauche: ( ) ⊗ Q . Les morphismes d’adjonction:

Θ _Q (M) : Mor _C (Q, M) ⊗ Q − − − − ^≡ − − → − − M et Ξ _Q (W ) : W − − − − − ^≡ − → − − Mor _C (Q, W ⊗ Q) (∗) associ´es ` a la paire de foncteurs adjoints

( ) ⊗ Q , Mor _C ( Q , )

, sont des iso- morphismes pour tous M ∈ Ob(C _Q , q-coh ) et W ∈ Mod -E _Q .

Ceci ´etant, le foncteur Mor _C ( Q , ) : C _Q Mod -E _Q se factorise en l’inclu- sion de cat´egories C _Q ⊆ C _Q suivie de Mor _C (Q, ) : C _Q Mod -E _Q . La com- position d’adjoints ` a gauche L Q ◦ ( ⊗ Q ) est donc un adjoint ` a gauche de Mor _C ( Q , ) : C _Q Mod -E _Q . La composition

W − − − ^Ξ − − − −

− − − − − _≡ ^(W − − − − − − − → − ⁾ Mor _C ( Q , W ⊗ Q ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − → − Mor _C ( Q , L Q (W ⊗ Q ))

est clairement bijective et le foncteur L Q ◦ ( ⊗ Q ) : Mod -E _Q C _Q est pleine- ment fid`ele. Montrons qu’il est essentiellement surjectif.

Pour chaque objet N de C _Q , on d´efinit p(N) :

Mor

(Q,M) Q → N comme le morphisme dont la restriction p( N ) _ϕ : Q → N , correspondante au facteur de la somme index´e p ar ϕ ∈ Mor _C (Q, N) , v´erifie p(N) ϕ = ϕ. Le morphisme p( N ) factorise (par d´efinition) tout ´ epimorphisme p :

A N . On en d´e- duit tautologiquement que p(N) est un ´epimorphisme, que Mor _C (Q, p(N)) est surjectif et que Θ _Q (N) : Mor _C (Q, N) ⊗ Q → N factorise p(N) (c’est donc un

´epimorphisme) et son noyau est de Q-torsion. Par cons´equent, le morphisme:

L _Q

Mor _C (Q, N) ⊗ Q − − − − − ^L − − − − −

− − − − ^(Θ − − − − − − − _≡ − −

− − − ^(N)) − − − − − − − − − − − → − L _Q (N) (∗∗) est un isomorphisme pour tout N ∈ C Q .

En particulier tout N ∈ Ob( C _Q ) est dans l’image essentielle du foncteur L _Q ◦ ( ⊗ Q) .

Dans la d´emonstration pr´ec´edente nous avons prouv´e le r´esultat suivant.

Proposition 5. Soit Q un objet quasi-projectif de type fini. Pour tout objet M de C le morphisme:

L _Q

Mor _C (Q, M) ⊗ Q − − − − ^L − − − − −

− − − − − ^(Θ − − − − − − − _⊆ −

− − − − ⁽ − − − ^M − − − − − − ⁾⁾ − − → − L _Q (M) est un monomorphisme. De plus,

Mor _C ( Q , L Q (Θ _Q ( M ))) est bijectif, et

L _Q (Θ _Q (M)) est nul, si et seulement si, M est de Q-torsion.

A.4. Objets presque-projectifs

Chaque ´epimorphisme π : P Q donne lieu au morphismes : E _Q = Mor   ^Mor _C (Q,

(π, Q) Q )

E _P = Mor _C (P, P) − − − − ^Mor − − − − − − − − − − − −

− − − − ^(P,π) − − − − − − − − − − − → − − Mor _C (P, Q) → 0

( ‡ )

o` u Mor _C (π, Q) est toujours injective, et la ligne sera exacte si P est projectif.

D´ efinition. Un objet Q de C sera dit presque-projectif , lorsque il existe un objet projectif P , et un ´epimorphisme π : P Q , tels que dans (‡) , l’image de E _Q et l’image de E _P dans Mor _C (P, Q) co¨ıncident. Lorsque, dans ces donn´ ees, P est en plus de type fini (auquel cas Q l’est ´egalement), on dira que Q est presque-projectif de type fini.

On a un isomorphisme et une surjection canoniques:

Mor _C (π, Q ) : E _Q − − − − − − − ^≡ − − − − → − − Mor _C ( P , Q ) , ξ : E _P − − − − − − − − − − → − → − − E _Q ,

o` u ξ = Mor _C (π, Q) ^{− 1} ◦ Mor _C (P, π) est un homomorphisme d’anneaux. Un ´ epimor- phisme π v´erifiant les conditions ci-dessus sera appel´e une pr´esentation de Q . Lemme 6. Soient P un objet projectif, et π : P Q un ´epimorphisme. Il y a

´equivalence entre:

(a) Le noyau de π : P Q est stable sous l’action de E _P . (b) Q est presque-projectif et π est une pr´esentation de Q .

En particulier, si Q est presque-projectif (de type fini) et si N ⊆ Q est un sous-objet stable par E _Q , pour tout conoyau ν : Q Q de N ⊆ Q , Q est presque-projectif (de type fini) et ν ◦ π est une pr´esentation de Q pour chaque pr´esentation π de Q .

D´ emonstration. Notons κ : K → P un noyau pour π. On a Mor _C (K, π) ◦ Mor _C (κ, P) = Mor _C (κ, Q) ◦ Mor _C (P, π)

et (a) ´equivaut ` a l’annulation du membre de gauche et (b) ` a celle du membre de droite.

La derni`ere partie du lemme r´esulte alors de v´erifier que pour toute pr´ esenta- tion π : P Q , π ^{− 1} ( N ) est E _P -stable. Or, pour tout ϕ ∈ E _P il existe ϕ ∈ E _Q tel que π ◦ ϕ = ϕ ◦ π , par cons´equent π

ϕ(π ⁻¹ (N))

= ϕ

π(π ⁻¹ (N))

= ϕ(N) ⊆ N

et donc ϕ(π ^{− 1} ( N )) ⊆ π ^{− 1} ( N ) .

Proposition 7

(a) Un objet presque-projectif est quasi-projectif.

(b) Soient Q un objet quasi-projectif, et π : Q Q un ´epimorphisme de noyau stable sous l’action de E _Q . Alors Q est quasi-projectif.

D´ emonstration

(a) Soient π : P Q une pr´esentation de l’objet presque-projectif Q . Pour tout

´epimorphisme p : Q Q , la surjectivit´e de Mor _C ( Q , p) r´esulte imm´ediate- ment du diagramme commutatif:

Mor _C (Q, Q) − − − − ^Mor − − − − − − − − − − − − −

− − − ^(Q,p) − − − − − − − − − − − − → − Mor _C (Q, Q )

Mor

(π, Q )

 

⁼ ⊆

 

^Mor

(π, Q

)

Mor _C (P, Q) − − − − ^Mor − − − − − − − − − − − − −

− − − ⁽ − − − ^P − − − − ^,p) − − − → − − → − Mor _C (P, Q )

(b) Comme Q est projectif dans la cat´egorie ab´elienne D _Q qui est stable par sous-quotients dans C , l’objet Q est presque-projectif d’apr`es le lemme pr´ec´edent, et est donc quasi-projectif d’apr` es (a).

Corollaire 8. Soit Q un objet quasi-projectif de type fini. On a des ´ equivalences de cat´egories:

C _Q ,q-coh ∼ C _L

_(Q), q-coh , C _Q , coh ∼ C _L

_(Q),coh , et des ´egalit´es C _Q = C _L

_{( Q )} et C _Q,f. = C _L

_{( Q ), f.} .

D´ emonstration. En effet, comme Q est suppos´e de type fini la torsion T _Q (Q) est bien d´efinie et est clairement stable sous l’action de E _Q . La proposition pr´ ec´edente affirme alors que L _Q (Q) est quasi-projectif et comme E _Q = E _L

_(Q) , le th´eor`eme 4 prouve les ´equivalences. Enfin, on v´ erifie ais´ement l’inclusion C _Q ⊆ C _L

_{( Q )} et comme Mor(L _Q (Q), ) co¨ıncide avec Mor _C (Q, ) sur ces cat´egories, l’´equivalence de cat´egories sur Mod -E _Q prouve les ´egalit´es.

Th´ eor` eme 9. Soit Q un objet de C sans Q-torsion et de type fini. Il y a ´ equivalence entre:

(a) Q est quasi-projectif de type fini.

(b) Mor _C (Q, ) : C _Q Mod -E _Q est une ´equivalence de cat´egories.

D´ emonstration. L’implication (a) ⇒ (b) est dans le th´eor`eme 4; pour prouver la r´eciproque consid´erons un ´epimorphisme p : Q Q dans C et montrons que Mor _C ( Q , p) est surjective.

D’apr`es (b) de la proposition 1, il existe un ´ epimorphisme ν : Q Q

tel que Mor _C (Q, ν) est injectif et tel que Q est sans Q-torsion. Le morphisme

ν ◦ p : Q Q est alors tel que Mor _C ( Q , ν ◦ p) est surjectif . En effet, comme Q et Q sont tous les deux dans C _Q , il existe d’apr`es l’´equivalence de cat´egories (b) un objet Q de C _Q et un morphisme µ : Q → Q tels que Mor _C (Q, µ) est un conoyau pour Mor _C ( Q , ν ◦ p) . En particulier Mor _C ( Q , µ ◦ (ν ◦ p)) = 0 et donc µ ◦ (ν ◦ p) = 0 ; or, ν ◦ p est un ´epimorphisme de C et alors µ = 0 .

Soit maintenant ϕ : Q → Q un morphisme quelconque. Comme Mor _C ( Q , ν ◦ p) est surjective, il existe ψ ∈ E _Q v´erifiant (ν ◦ p) ◦ ψ = ν ◦ ϕ , et alors p ◦ ψ = ϕ puisque Mor _C (Q, ν) est injective.

A.5. Objets simples. Rappelons qu’un objet S d’une cat´egorie ab´elienne est dit simple s’il n’est pas nul et si tout monomorphisme non nul S → S est un isomor- phisme.

Th´ eor` eme 10. Soit Q un objet quasi-projectif de type fini de C .

1) Les classes d’isomorphie des objets simples de C qui ne sont pas de Q -torsion sont les classes d’isomorphie d’objets simples de la cat´egorie ab´elienne C _Q . 2) Le foncteur Mor _C (Q, ) : C Mod -E _Q induit une bijection entre les classes

d’isomorphie des objets simples de C qui ne sont pas de Q-torsion et les classes d’isomorphie des E _Q -modules ` a droite simples.

D´ emonstration

On utilisera constamment l’´equivalence de cat´egories C _Q ∼ Mod -E _Q du th´eo- r`eme 4.

1) Un objet simple de C qui n’est pas de Q -torsion est un objet simple de C _Q . En effet, un objet S simple dans C et tel que Mor _C (Q, S) = 0 est sans Q-torsion et v´erifie L _Q (Mor _C (Q, S) ⊗ Q) ≡ S grˆ ace ` a la proposition 5, donc S ∈ Ob(C _Q ) . D’autre part, un sous-objet de S dans C _Q est la donn´ee d’un objet S de C _Q et d’un morphisme ν : S → S tels que Mor _C ( Q , ν) est injectif;

mais alors ker(ν) est de Q-torsion et est n´ecessairement nul. Par cons´equent S est un sous-objet de S dans C et la simplicit´e de S dans C _Q en r´esulte.

Un objet simple de C _Q est simple dans C . En effet, pour tout S ∈ Ob( C _Q ) , on a L _Q (Mor _C (Q, S) ⊗ Q) ≡ S (prop. 5), et pour tout monomorphisme non nul η : N → S , on a 0 Mor _C ( Q , N ) ⊆ Mor _C ( Q , S ) puisque N est sans Q - torsion. Or, S est simple dans C _Q , si et seulement si, Mor _C (Q, S) est simple dans Mod -E _Q ; dans ce cas, Mor _C ( Q , η) : Mor _C ( Q , N ) → Mor _C ( Q , S ) est bijec- tive et tout ´epimorphisme p :

A Q S se factorise par η qui est donc un isomorphisme.

2) Cons´equence imm´ediate de (1).