A4902. La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p
< q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Gaston Parrour
Conventions Pour la suite, en adoptant l'orientation et les notations de la figure de l'énoncé : → A est l'origine d'un repère orthonormé direct avec
la grandeur p selon le demi axe positif AD) (''axe des x'') la grandeur q selon le demi axe positif AB) (''axe des y'') → Dans tout ce qui suit, il est supposé p < q
Remarque préliminaire :
Sur la figure il y a q colonnes , chacune définie par m ≤ y < m+1 (avec 0 ≤ m< q) Parmi ces colonnes, certaines ne contiennent aucun triangle rectangle le long de la diagonale.
Nombre k de COLONNES VIDES 1 - Lorsque (p,q) = 1
k = (q-1) – p (1) Pour établir ce résultat on peut :
a- soit le vérifier graphiquement
Ex : dans l'énoncé on a p=5 q=11 (p,q) = 1, on décompte sur la figure 5 COLONNES VIDES et avec (1) → k = (11-1) – 5 = 5
b- soit faire un calcul direct (voir note après la fin de solution) 2 - Lorsque (p,q) = d
Avec un P.G.C.D. d > 1 , on peut définir
p' = p/d q' = q/d et alors (p',q') = 1
Dans le rectangle élémentaire défini par p' et q', la relation (1) ci-dessus s'applique et conduit à k' = (q'-1) – p' (nombre de colonnes VIDES dans ce rectangle élémentaire)
Les q' colonnes déterminent ici q' segments égaux le long de la diagonale de ce rectangle élémentaire, donc → Le long de la diagonale du rectangle élémentaire, il y a k' segments (déterminés par les colonnes) autour desquels il n'y a pas de petits triangles rectangles → k' segments VIDES
Puisque le long de la diagonale D du rectangle (défini par p et q) il y a d rectangles élémentaires : nombre k de segments VIDES le long de la diagonale D
k = d x k' → k = (q-d) – p (1')
→ Ces segments étant déterminés par les colonnes, (1') exprime aussi le nombres total k de colonnes vides L'expression (1') généralise (1) quel que soit (p,q) = d (d est le P.G.C.D. de p et q) .
Somme des périmètres des petits triangles rectangles le long de la diagonale (dans les colonnes NON VIDES) Ici par hypothèse (p,q) = 1 p < q
On pose tan dia = p/q (dia est l'angle que fait la diagonale AC avec l'horizontale AB ) Il y a q colonnes dont k colonnes vides
→ Une colonne non vide est représentée ci-contre :
La diagonale D en rouge recoupe la limite horizontale de deux ''carrés unité'' en I La parallèle à D tracée sur la figure montre que la somme des périmètres des deux petits triangles rectangles est le périmètre du triangle abc, soit
ab + bc + ca = 1 + tan dia + d = 1 + p/q + d
où d = ca est égal à la longueur de diagonale D contenue dans la colonne Chaque colonne découpe la même longueur d sur la diagonale AC dont la longueur [AC] est donc [AC] = q x d
Dans l'ensemble des (q – k ) colonnes non vides, la somme S des périmètres des petits triangles rectangles est
S = (q-k) (1 + p/q + d]
= q+p+ q x d - (k/q) (q+p+ qxd) Le périmètre de ABC est P(ABC) = (p+q + [AC] )
donc S(triangles) = P(ABC) (1 – k/q) Selon l'énoncé on a donc (1 – k/q) = 1/3
→ k/q = 2/3 k = 2q / 3 (2) Remarques
Puisque k est un entier → q = 3q1 (et donc k = 2q1 , k est pair ici) Condition Nécessaire pour (p,q) = 1 → p n'est pas multiple de 3 → Avec k donné par l'expression (1) ; k = (q-1) – p ,
la relation (2) conduit à
3[ (q-1) – p] = 2q soit q – 3p = 3
ou encore avec q = 3q1 q1 – p = 1 (3) Donc p et q1 sont premiers entre eux
La CN ci-dessus ''p n'est pas multiple de 3'' est donc aussi Condition Suffisante pour assurer que (p,q) = 1 ==> p et q sont liés par q = 3(p+1) (3')
Application
L'énoncé impose p+q ≤ 1009 soit avec (3') → 4p + 3 ≤1009 → pmax = 251 ( ≠ 3K) A pmax = 251 correspond q1max = 252 et qmax = 3 x q1max → qmax = 756
La somme des périmètres des petits triangles rectangles est un entier égal à [p +q + (p²+q²)1/2 ] /3
Puisque p + q est entier , cela exige :
- (p²+q²)1/2 est un entier
- la somme entre crochet est un multiple de 3 1- (p²+q²)1/2 est un entier
L'équation x² + y² = A² (A entier) avec (x,y)=1 et x,y de parité différente admet pour solution générale x = 2ab y = b²-a² A = a²+b² , a et b sont des entiers (a,b) = 1, de parité opposée (ici a < b ) Avec cela, sans préjuger si p = 2ab et q = b²-a² , ou bien s'il faire l'autre choix :
p + q + A = 2ab + b² -a² + a² + b² = 2b(a + b)
Pour que ceci soit divisible par 3 → soit (a+b) = 3k , soit b = 3k Sachant que q = 3(p +1) (relation (3') )
→ Avec le choix (a+b) = 3k on est conduit à poser q = b²-a² = (b-a)(b+a) p = 2ab (3') → k(b-a)= [ 2ab + 1]
k(2b-3k) = 2b(3k-b) + 1
soit 2b² – 4kb – (3k²+1) = 0 équation en b dont le discriminant est : delta = 4k² + 2(6k²+1) = 10k² + 2 il doit être carré parfait ==> impossible aucun carré se termine par 2
a b
c I
→ Avec le choix b = 3k on est conduit à poser q = 2ab et p = b²-a² (3') → 2ka = 9k² – a² + 1
a² +2ka – (9k²+1) = 0
delta = 10k² + 1 doit être un carré parfait (4) solution évidente k = 6 delta = 361 = (19)²
a = (- 6 + 19) a = 13 b = 3x6 b = 18
De cela on en déduit p = b² – a² = 155 q = 2ab = 468 A = (p² + q²)1/2 = 493 p + q + A = 3 x 372
Puisque p < pmax = 251 , cette solution est acceptable Conclusion
==> La somme des petits triangles est l'entier 372 , cela est obtenu avec le couple (p,q) = (155, 468)
N.B. Cette solution est unique dans la limite imposée pour pmax
La relation (4) a sans doute d'autres solutions, mais elles ne conduisent alors pas à p < pmax
Note Une approche pour établir l'expression du nombre de COLONNES VIDES [relation (1)] par calcul direct (il s'agit seulement ici de donner quelques indications)
On pose tan dia = p/q
Dans un repère défini dans ''Conventions'' au début, de sommet A : → à tout xi ( 0 < x < p) correspond
y = x / tan dia = x q/p
→ Le cas d'une colonne vide, correspond à deux entiers successifs x1 et x1 + 1 pour lesquels
y1 < Ym et y2 > Ym + 1 où y1 = (x1) q/p y2 = (x1 + 1) q/p et Ym est un entier, Ym < q A quelle(s) condition(s) existe-t-il de tels entiers xi (et les Ym correspondants) ?
→ Par exemple supposons q=p+2 alors q > 2
y1 = x1 + 2x1/(q-2) y2 = (x1+1) + 2(x1+1)/(q-2)
→ si 2x1/(q-2) < 1 alors on peut choisir Ym = x1 +1 pour réaliser y1 < Ym De plus en même temps :
→ si 2(x1+1)/(q-2) > 1 alors Ym + 1 = x1+2 vérifie Ym+1 < y2 Les deux conditions ci-dessus conduisent respectivement à
x1 < q/2 – 1 et x1+ 1 > q/2 – 1 → x1 > q/2 – 2 Puisqu'ici q est impair [car (p,q) = 1] :
→ Au seul entier x1 défini par q/2 – 2 < x1 < q/2 – 1 correspond une colonne vide définie par le couple (Ym , Ym+1) avec Ym = x1+1
Y a-t-il d'autres solution x'1 (et Y'm correspondant) dans ce cas où p = q-2 ? → Peut-on avoir
1< 2x'1/(q-2) < 2 [ auquel cas on définit Y'm par Y'm = x'1 + 2] ? cette condition conduit à
q/2 -1 < x'1 < q-2 soit p/2 < x'1 < p (a) De pair avec cette condition il faut alors que
2 < 2(x'1+1)/(q-2) [ auquel cas Y'm +1 = x'1 + 3 ] cette condition conduit à
q-3 < x'1 soit p-1 < x'1 (b) La condition (b) est impossible ( car alors p < x'1+1 !! )
Donc
==> Dans le cas q = p + 2, (et (p,q) = 1) une seule colonne vide → k = 1 = (q-p) – 1 l'expression (1) k = (q-1) – p est satisfaite.
→ En procédant comme ci-dessus :
le cas q=p+1 conduit immédiatement à PAS de colonnes vide → k = 0 = (q-p) – 1
le cas q = p+3 conduit à l'existence de DEUX couples d'entiers (x1, x1+1) auxquels correspondent
DEUX couples d'entiers (Ym, Ym+1) définissant k = 2 colonnes vides cela est en accord avec la relation (1) → De façon générale : avec q = p + r ( p> 0 et (p,q) = 1)
==> il y a (r-1) couples de valeurs (x1,x1+1) de l'entier x tels qu'il leur correspond (r-1) couples de valeurs entières (Ym, Ym+1) définissant k = (r-1) colonnes vides
Donc
k = (q – 1) – p en accord avec la relation (1)
