A4902. La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution de Maurice Bauval :
Quand 2 triangles ont un sommet commun, la somme de leurs périmètres est le quotient du périmètre du triangle ABC par q, c'est aussi le périmètre du premier ou du dernier petit triangle.
Dans le cas de figure de l'énoncé, la somme des périmètres des petits est les 6/11 du périmètre du grand triangle ABC.
Pour p et q premiers entre eux, on trouve (p – 1) couples de triangles reliés par un sommet commun, plus un triangle initial et un triangle final, et une somme de périmètres égale à (p+1)/q fois le périmètre de ABC.
Il faut q = 3(p+1) et aussi p²+q² = d² où d est la longueur de la diagonale AC qui doit être un entier.
Il faut aussi p + q ≤ 1009, 4p+3 ≤ 1009, p≤ 251,
Les premières solutions de p² + 9(p+1)² = 10p² + 18p + 9 = d² sont :
p 7 155 1332
q 24 468 3999
d 25 493 4215
7+24+25 = 56 n'est pas divisible par 3, 155+468+493 = 1116 = 3*372, et 1332 est trop grand.
155 et 468 sont premiers entre eux
p = 155 , q = 468, et la somme des périmètres des petits triangles est 372.
