A406. Paires de rectangles ***
Q1 Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q2 L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016.Trouver les
dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois celle du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q3 Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier. Application numérique k = 2016.
Q1 :
Soient a , b les côtés du premier rectangle et c , d ceux du deuxième rectangle Nous avons les deux conditions suivantes :
(1) a⋅b = 4⋅c⋅d (2) 4⋅(a+b) = c+d
(2) => d=4⋅(a+b)−c (3) (3) dans (1) => b = 16a c –4c²
a –16c
Quelques essais à l'aide d'un automate permettent de trouver les dimensions suivantes :
a=30 b=34 c=1 d=255
Aire1=1020 Aire2=255 Périmètre1=128 Périmètre2=512
Q2 :
Soient a , b les côtés du premier rectangle et c , d ceux du deuxième rectangle Nous avons les trois conditions suivantes :
(1) a=2016 (2) a⋅b = k⋅c⋅d (3) k⋅(a+b) = c+d
On déduit : b = k22016c – k c² 2016– k2c
Quelques essais à l'aide d'un automate permettent de trouver les valeurs suivantes : a=2016 b=2081 c=1 d=131103
k=32
Aire=4195296 Aire=131103
Périmètre=8194 Périmètre=262208
Q3 :
Soient a , b les côtés du premier rectangle et c , d ceux du deuxième rectangle Nous avons les deux conditions suivantes :
(1) a⋅b = k⋅c⋅d (2) k⋅(a+b) = c+d
On déduit : b = k2a c – k c² a – k2c Il suffit alors de poser : c=1
a=k²+1
=> b vaut k²⋅a−k
=> d vaut k⋅(a+b)−c
Application :
k=2016 a=4064257
b=16518180895776 c=1
d=33300660879426527
Aire1=67134132332923878432 Aire2=33300660879426527 Périmètre1=16518184960033 Périmètre2=33300660879426528
