A406. Paires de rectangles
Q1 Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telle que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q2 L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016. Trouver les dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois l'aire du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q3 Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier. Application numérique k = 2016.
Solutions (J'ai interverti les solutions Q2 et Q3)
Q1
Soient a et b les valeurs entières des côtés du premier rectangle, c et d celles des côtés du deuxième.
Nous avons : ab = 4 cd (1) et 4(a+b) = c+d (2)
Si c est la longueur la plus petite du deuxième rectangle, prenons c = 1 (si c = n > 1 entier, en multipliant a, b et d par n, les 2 égalités sont encore vérifiées, sans changer la valeur de k) Nous obtenons : (1) ab = 4d et (2) 4(a+b) = 1+ d
soit : a + b = m , et ab = 4(4m-1) a et b sont les 2 solutions entières de l'équation : X2 -mX + 4(4m+1) = 0
Δ2 = m² – 16(4m – 1) = m² – 64m + 16 doit être carré parfait.
Plusieurs valeurs de m vérifient la propriété : 64, 65, 69, 75, 80 99, 119, 160….
L'aire minimale pour ab est obtenue pour la plus petite valeur, soit m = 64 Nous avons alors a = 34, b = 30 (premier rectangle) et c = 1, d = 255 (deuxième rectangle)
Surface du premier rectangle S1 = 34x30 = 1020 Surface du deuxième S2 = 255 donc S1 = 4S2 Périmètre du premier rectangle P1 = 2(a+b) = 2(64) = 128
Périmètre du deuxième P2 = 2(c+d) = 2(256) = 512 donc P2 = 4P1 (CQFD)
Q3
Pour tout entier k, on peut toujours trouver 2 rectangles répondant à la question.
En effet :
Soient a et b les dimensions des côtés du premier, c et d les dimensions des côtés du deuxième.
Nous avons (1) ab = k(cd) (2) k(a+b) = c+d Prenons c = 1 et (a+b) = m k(a+b) = 1 + d donc d = mk – 1 ab = kd = k (mk – 1) et (a + b ) = m
a et b sont solutions entières de l'équation : X2 – mX + k(mk – 1) = 0 Son discriminant est Δ, avec Δ2 = m² – 4k(mk – 1) = m(m – 4k2) + 4k Prenons m = 4k2 + 1.
Nous obtenons Δ2 = 4k2 + 4k + 1 = (2k + 1 )2 donc Δ = 2k + 1 En définitive :
a = (4k
2+ 1 + 2k + 1)/2 = 2k
2+ k + 1 b = (4k
2+1 – 2k – 1)/2 = 2k
2– k c = 1
d = km – 1 = 4k
3+ k – 1
Ce qui montre que quel que soit k, on peut obtenir les valeurs de a, b, c et d
Application numérique :
Soit k = 2016, nous obtenons : Premier rectangle :
a = 2x2016x2016 + 2016 + 1 = 8 130 529 b = 2x2016x2016 – 2016 = 8 126 496 Deuxième rectangle :
c = 1
d = 32 774 162 399
Nous avons bien ab = 2016 x cd et 2(c + d) = 2016x2x(a + b)
Q2
Le premier rectangle a un côté égal à 2016.
Soit « a » ou « b » ce côté.
Nous avons 2016xa = kcd k(2016+a) = (c + d).
Les relations trouvées plus haut entre k et les côtés montrent que la plus grande valeur de k sera obtenue pour b = 2k2 – k = 2016 soit 2k2 – k – 2016 = 0 ou (2k + 63)x(k – 32) = 0
Donc k = 32
Premier rectangle ; a = 2k
2+ k + 1 = 2 081 b = 2k
2– k = 2 016 Deuxième rectangle : c = 1
d = 4k
3+ k – 1 = 131 103
Vérification : ab = 4 195 296
32xcd = 32x131103 = 4 195 296 32x2x(a + b) = 32x2x4097 = 262 208 2x(c + d) = 2x131104 = 262 208 Remarque :
D'autres valeurs de k (inférieures à 32) peuvent donner également un côté du premier rectangle égal à 2 016
Ces valeurs correspondent à des valeurs de c divisant 2 016.
3 valeurs de k le permettent : k = 2
b1 = 6 ; a1 = 11 ; d1 = 33 ; c1 = 1
En multipliant par 336, on obtient toujours avec k = 2 a = 3 696 ; b = 2 016 ; c = 336 ; d = 11 088
k = 4
b1 = 28 ; a1 = 37 ; d1 = 259 ; c1 = 1
En multipliant par 72, on obtient toujours avec k = 4 a = 2 664 ; b = 2 016 ; c = 72 ; d = 18 648
k = 5
b1 = 45 ; a1 = 56 ; d1 = 504 ; c1 = 1
En multipliant par 36, on obtient toujours avec k = 5 a = 2 016 ; b = 1 620 ; c = 36 ; d = 18 144
