A406 - Paires de rectangles
Q₁ Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier.
Q₂ L'un des côtés d'un premier rectangle de dimensions entières est égal à 2016. Trouver les dimensions entières d'un second rectangle telles que l'aire du premier est k fois l'aire du second, le périmètre du second est k fois celle du premier et le multiple k est un entier le plus grand possible.
Q₃ Démontrer que pour tout entier k, on sait toujours trouver les dimensions entières de deux rectangles dont l'aire du premier est k fois l'aire du second et le périmètre du second est k fois le périmètre du premier. Application numérique k = 2016.
Si p est le demi périmètre du premier rectangle, a un coté du premier et b un coté du second, on a la relation a(p-a)=kb(kp-b) soit a2-kb2=p(a-k2b) ; posons u=a-k2b, a=u+k2b, p=(a2-kb2)/u, a2-kb2=u2+2k2bu+k(k3-1)b2 : u doit diviser k(k3-1)b2. L’aire du premier rectangle, s=a(p-a)=kb(k(u+(2k2-1)b+k(k3-1)b2/u) est fonction croissante de b, donc minimale pour b=1.
Q1 : Pour b=1 et k=4, s fonction de u passe par un minimum pour u=16, mais u doit diviser 4*63=252 : donc u=14 (ou 18), p=64, a=30(ou 34), b=1, 30*34=4*255=1020.
Q2 : a=2016, p=(a2-kb2)/(a-k2b) avec k2b≤a, b≥1, donc k≤44 pour b=1, k≤31pour b=2, ...
Or pour b=1, k=32, p=4064224/992=4097, 2016*2081=32*(32*4097-1)
Q3 : Pour tout k, il suffit de prendre b=1 et u=1, donc a=k2+1, p=k4+2k2-k+1 est une solution (assez grande!). Ainsi pour k=2016, a=40644256, p=16518184960033.
