A4902. La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Claudio Baiocchi On a
La première remarque est que, choisissant les droites comme axe des abscisses et comme axe des ordonnées, les zones vertes peuvent se trouver uniquement où la diagonale AC coupe une droite
horizontale, soit . Il s’agit donc de zones, dont deux triangulaires ( ) et les autres composées de deux triangles ( ).
La deuxième remarque est que tout triangle vert est semblable au triangle ; et le « périmètre » de chaque zone, peu importe si composée de deux parties, est toujours donné par une fraction du périmètre de , à savoir il vaut
. En fait dans le cas de zone partagée (seul cas non évident) le périmètre de la somme est la somme des périmètres donc le rapport de similitude est le rapport entre la somme des grands-cathètes des deux triangle et le grand-cathète de .
On doit donc imposer , ce qui mène à imposer que la quantité est un carré parfait. Naturellement on pourrait le faire cherchant une représentation du couple sous la forme ; mais en tout cas on tombera sur une équation de type Pell-Fermat . Jusqu’à il y a peu de temps, pour ce type de problèmes on avait à disposition une «calculette » très puissante ; toutefois la maudite guerre que tout Navigateur (Chrome, Edge, Firefox, Opera, …) est en train de conduire contre Java a beaucoup pénalisé l’efficacité de ce bel instrument. De toute façon, quelle que soit l’approche suivit, on parvient à comme unique solution correspondante à un triangle dont le
périmètre ne dépasse pas 2018.
