Enoncé A4902 (Diophante) La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d’un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p+q)≤2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l’intérieur de certains d’entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer petq.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les carrés étant disposés en p rangées et q colonnes, les petits triangles apparaissent là où les p+ 1 limites de rangées bordent (pour les 2 limites haute et basse seulement, car p etq sont premiers entre eux) ou coupent (pour lesp−1 limites intermédiaires) l’un ou l’autre desqsegments définis sur AC par les limites de colonne. Cela touche p+ 1 segments ; le ou les triangles formés sur un tel segment ont pour longueur d’hypoténuse(s) AC/q, et pour périmètre la fraction 1/q du périmètre du triangle ABC.
Au total c’est (p+ 1)/q qui correspond au tiers indiqué par l’énoncé. Ainsi q = 3p+ 3.
La somme des périmètres est un entier, le tiers du périmètre deABC qui est aussi un entier ;AB=q etBC=psont entiers, donc AC=pp2+q2 est aussi un entier. On sait que, sip etq sont premiers entre eux, il existe des entiers u > v > 0 avec pp2+q2 = u2+v2, p et q étant l’un 2uv et l’autre u2−v2.
Cas 1.p= 2uv,q=u2−v2.
u2−v2 = 6uv+3 conduit à (u−3v)2−10v2 = 3, qui est impossible modulo 5.
Cas 2.q= 2uv,p=u2−v2. 3 divisantq diviseuou v.
Cas 2.1.u= 3w,q/3 = 2vw=p+ 1 = 9w2−v2+ 1.
Alors (v+w)2−10w2 = 1, équation de Fermat dont la plus petite solution estw= 6,v+w= 19,v= 13, u= 18,p= 155, q= 468.
Le périmètre du rectangle est 2(155 + 468) = 1246 <2018, ce qui donne la solution (p, q) = (155,468). AC = 493,ABC a pour périmètre 1116 et la somme des périmètres des petits triangles est 372.
La solution suivante est w = 228, u −w = 721, u = 949, v = 684, p= 438045, q= 1298232, 2(p+q) = 3472554>2018, à écarter.
Cas 2.2.v = 3w,q/3 = 2uw=p+ 1 =u2−9w2+ 1.
Alors (u−w)2−10w2=−1. La plus petite solution est w= 1,u−w= 3, u = 4, v = 3, p = 7, q = 24. Mais AC = 25, ABC a pour périmètre 56 non multiple de 3, solution à écarter.
La solution suivante estw= 37,u−w= 117,u= 154,v= 111,p= 11395, q= 34188, 2(p+q) = 91166>2018, à écarter.
En conclusion,p= 155, q= 468.
