Enoncé A489 (Diophante) Echange de bons procédés
Deux nombres premiers petq font un échange de bons procédés :pdivise q2+ 8 de la même manière que q divisep2+ 8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p, q) avec la condition 2≤p≤q≤2013.
Pour les plus courageux : trouver au moins trois couples de nombres pre- miers p etq tels que pdivise q2+ 19 et q divisep2+ 19 avec la condition 2≤p≤q.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Sip=q, il est clair que ce nombre divise 8 dans la première question, 19 dans la seconde, d’où les solutionsp=q = 2,p=q = 19 respectivement.
Si p < q, je vais chercher les couples (p, q) parmi les paires {x, y} (que j’appellerai “h-paires”) telles quex divisey2+h etydivisex2+h, avech donné (h= 8 ou h= 19 selon la question considérée), et x ety premiers entre eux.
Soit donc y2+h=zx. La conditiony divisex2+h entraîne que y divise x+z. En effetx2+y2+h=x(x+z) est divisible pary, premier avec x; et réciproquement. En outrey divise alorsz(x+z) =z2+y2+het{y, z} est aussi uneh-paire.
De même,x2+h=yw entraîne quexdivisey+wetw2+h. Six+z=cy, x2+h =x(x+z)−y2 =y(cx−y), doncw =cx−y, x, y, cy−z sont 4 termes consécutifs d’une suite vérifiantun+1=cun−un−1;
A c donné, on sait résoudre cette récurrence au moyen des polynômes de TchebychevTk(c/2).
Cette suite, indéfinie dans les deux sens, est formée d’entiers strictement positifs, qui croissent indéfiniment quandn(positif ou négatif) devient très grand. Chaque h-paire est formée de deux termes consécutifs d’une telle suite, premiers entre eux en vertu de la récurrence. Il suffit, pour détermi- ner toutes les h-paires, de déterminer toutes les suites correspondant à h donné.
Une telle suite a un plus petit terme, soity. Siy=x < z, on ax=y= 1, z=h+ 1, car il fautP GCD(x, y) = 1. De même si x > y=z.
Siy < xety < z, on ax, z≥y+ 1,y2+h=xz≥(y+ 1)2ety≤(h−1)/2.
Pour 2≤y≤(h−1)/2, on examine siy2+hse factorise enxz avec x+z multiple de y. Dans l’affirmative, on a une suite incluant x, y, z avec la constantec= (x+z)/y.
Quel que soith, on a
– la suite incluant 1,1, h+ 1 avec la constantec=h+ 2,
– et les suites 1, y, y2 +h avec y > 1 diviseur de h + 1 et la constante c=y+ (h+ 1)/y.
L’application à h= 8 donne deux suites :
– la suite (constante c= 10) . . .,1,1,9,89,881,8729,. . .
qui fournit la 8-paire{89,881}de nombres premiers, la seule dans la limite 2013 fixée par l’énoncé ; la prolongation de la suite à gauche ne donne pas de valeurs différentes.
Ces valeurs sont données par la formule (Tk(5) +Tk−1(5))/6.
– la suite (constante c= 6) . . .,3,1,3,17,99,. . .
qui fournit la 8-paire {3,17} de nombres premiers, et elle seule car les termes ont pour valeurTk(3) et deux termes consécutifs incluent toujours un multiple de 3 ; la prolongation de la suite à gauche ne donne pas de valeurs différentes.
Les réponses à la première question sont donc les 3 couples (2,2), (3,17), (89,881).
L’application à h= 19 donne quatre suites : – la suite (constante c= 21) . . .,1,1,20,419,8779,. . .
qui fournit la 19-paire {419,8779} de nombres premiers ; la prolongation de la suite à gauche ne donne pas de valeurs différentes. Ces valeurs sont données par la formule 2
√ 23Tj
√ 23 2
!
, avecj entier impair.
– la suite (constante c= 12) . . .,119,10,1,2,23,274,. . .
qui fournit la 19-paire {2,23} de nombres premiers, et elle seule car les termes sont alternativement pairs et impairs.
– la suite (constante c= 9) . . .,311,35,4,1,5,44,391,. . .
qui ne fournit aucune 19-paire de nombres premiers car deux termes consé- cutifs incluent toujours un multiple de 5 ou un multiple de 4.
– la suite (constante c = 3) . . .,1089,301,115,44,17,7,4,5,11,28,73,191,500, 1309,. . .qui fournit, dans la limite 2013, trois 19-paires de nombres pre- miers : {5,11},{7,17},{73,191}
Les réponses à la seconde question sont donc, dans la limite 2013, les 5 couples (2,23), (5,11), (7,17), (19,19), (73,191).
Remarque. Les h-paires {x, y} sont les coordonnées des points entiers de la branche d’hyperbole d’équationx2−cxy+y2+h= 0 dans le quadrant x, y >0.
