Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés : p divise q²+8 de la même manière que q divise p²+8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p,q) avec la condition 2≤p≤q<2013.
Pour les plus courageux : trouver au moins trois couples de nombres premiers p et q tels que p divise q²+19 et q divise p²+19 avec la condition 2≤p≤ q.
Si l’on excepte le cas trivial p=q=2, il n’y a pas d’autre solution avec p=2, et toutes les solutions sont impaires. Pour p=3, p2+8=17 et 3 divise 172+8=297 : (3,17) est donc solution ; il n’existe pas de solution pour p=5 ou 7, puisque p2+8=33=3*11 ou 57=3*19, et que 112+8=129=3*43 et 192+8=369=33*41.
S’il existe a et b tels que ap=q2+8, bq=p2+8, alors, en sommant les deux , il existe k entier tel que p(p+a)=q(q+b)=2kpq (car p, a, q et b sont impairs) : a=2kq-p, b=2kp-q, p2+q2+8=2kpq ; (kq-p)2+8 =(k2-1)q2
De plus, p/q+q/p+8/pq=2k, et comme p/q<1, 8/pq<1, q/p>2(k-1).
Modulo 8, tout carré est congru à 0, 1, ou 4 ; or (kq-p)2=(k2-1)q2 ; q est impair donc q2=1 (mod 8), (kq-p)2=k2-1 donc k est impair, kq-p=2n est pair : k=2i+1, k2-1=4i(i+1), et n2-i(i+1)q2+2=0.
Cette équation est soluble pour i=1 et i=2 ; je ne pense pas qu’il y ait d’autres cas où elle le soit, sans l’avoir démontré : on peut déjà éliminer tous les cas où i(i+1) est multiple d’un nombre tel que -2 ne soit pas un résidu quadratique modulo ce nombre (4, 5, 7, 13, 23, 29, 31,...)
Pour i=1, k=3, i(i+1)=2, p=3q-2n ; l’équation n2-2q+2=0 admet une infinité de solutions (n,q)=(0,1), (4,3) (24,17) (140,99), (816,577), (4756, 3363) ... ; parmi elles, seule la troisième donne un couple de nombres premiers p=3, q=17.
Pour i=2, k=5, i(i+1)=6, p=5q-2n ; l’équation n2-6q2+2=0 admet les solutions (n,q)=(2,1), (22,9), (218,89), (2158, 881),... seule la quatrième donnant un couple de nombres premiers (89, 881).
Pour le second problème, outre la solution triviale p=q=19, on remarque que : 22+19=23 et 232+19=548 divisible par 2,
52+19=44=22*11, et 112+19=140 divisible par 5
72+19=68=22*17, et 172+19=308=22*7*11 divisible par 11.
