A 489 Echange de bons procédés
Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés si : p divise q2 + 8 de la même manière que q divise p2 + 8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p,q) avec la condition 2 ≤ p ≤ q < 2013.
Si p=q, p divise p²+8 donc p divise 8, donc p=2 . (2,2) est une solution.
Dorénavant on suppose p < q.
Autre tentative avec p=2 :
2²+8 = 12 , 3 divise 12, mais 3²+8 = 17 et 2 ne divise pas 17 donc (2,3) n'est pas solution.
Avec p=3 q divise 3²+8=17 donc q=17, 17²+8 = 297 , 3 divise 297 : (3,17) est solution.
Pour un inventaire complet des solutions avec 2<p<q<2013, un court programme sur ordinateur fournit une et une seule autre solution : (89, 881) .
89²+8 = 881*9 et 881² + 8 = 89*8721
Donc en tout trois solutions : (2,2), (3,17), et (89,881)
Pour les plus courageux : trouver au moins trois couples de nombres premiers p et q tels que p divise q2 + 19 et q divise p2 + 19 avec la condition 2 ≤ p ≤ q .
Si p = q, p divise p²+19 donc p divise 19, donc p=19 . (19,19) est une solution.
Dorénavant on suppose p < q.
On trouve facilement trois autres solutions :
p = 2, p²+19 = 23, 23²+19 = 548 est pair, (2,23) est solution.
p = 3 ne donne rien
p = 5 , p²+19 = 44 est multiple de 11, et 11²+19 = 140 est multiple de 5, (5,11) est solution p = 7 , p²+19 = 68 est multiple de 17, et 17²+19 = 308 est multiple de 7, (7,17) est solution.
Pour un inventaire complet des solutions avec 2<p<q<2013, un court programme sur ordinateur fournit une et une seule autre solution : (73,191) .
73²+19 = 191*28 et 191²+19 = 73*500
Donc en tout quatre solutions : (2,23), (5,11), (7,17), (19,19), et (73,191)
En poussant jusque 2<p<q< 10000, (avec l'ordinateur )
on ne trouve rien de plus pour p²+8 = 0 mod q , et q²+8 = 0 mod p,
tandis que pour p²+19 = 0 mod q, et q²+19 = 0 mod p , il vient en plus le couple (419, 8779) 419²+19 = 8779*20 et 8779²+19 = 419*183940
