A384 – Les égalisateurs
Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers p.n et q.n ont le même nombre de diviseurs.
Q₁ Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q₂ Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].
Solution
Notons d(x) le nombre de diviseurs de x.
Q₁
Si d(p) = d(q), n'importe quel n premier avec p et avec q est un égalisateur de p et q.
Si d(p) ≠ d(q), aucun n premier avec p et avec q n'est un égalisateur de p et q.
Si n est un égalisateur de p et q et m premier avec p et avec q, mn est un égalisateur de p et q.
Un égalisateur de p et q doit donc avoir au moins un facteur premier commun avec p ou q.
1er cas : p = 20 et q = 81
d(20) = 6; d(81) = 5
Essayons n = 2k.
d(20n) = 2(k+3) d(81n) = 5(k+1)
d(20n) = d(81n) ssi 2(k+3) = 5(k+1), soit :
2k + 6 = 5k + 5 ou k = 1/3 : impossible.
Essayons n = 3k.
d(20n) = 6(k+1) d(81n) = 5 + k
d(20n) = d(81n) ssi 6(k+1) = 5 + k, soit :
6k + 6 = 5 + k ou k = – 1/5 : impossible
Passons au cas général1 :
n = 2a3b5c
On a :
1 cas général car il est inutile d'ajouter des facteurs premiers étrangers à p et q : ils ne feraient que multiplier d(p)et d(q) par un même nombre
d(20n) = (a+3) (b+1) (c+2) d(81n) = (a+1) (b+5) (c+1)
En développant et en égalant, il vient :
ab + 2bc – 4ca – 32a + 5b – 2c + 1 = 0.
Cette équation a plusieurs solutions entières. La plus simple est a = b = c = 1, soit n = 2×3×5 = 30.
On vérifie que d(20×30) = d(81×30) = 24.
n = 30 est un égalisateur de p = 20 et q = 81 2ème cas : p = 1610 et q = 2019
p = 1610 = 2 × 5 × 161 d(1610) = 8 q = 2019 = 3 × 673 d(2019) = 4
Essayons :
n = 2a3b
On a :
pn = 2a+13b × 5 × 161 qn = 2a3b+1 × 673
Donc :
d(pn) = 4 (a+2) (b+1) d(qn) = 2(a+1) (b+2)
Pour que n = 2a3b égalise p et q, il faudrait que :
(b+2) / (b+1) = 2(a+2) / (a+1)
ce qui est impossible car le premier membre est < 2 et le second > 2.
Le cas général est à 5 variables, donc trop lourd pour être traité comme ci-dessus. Ce 2ème cas toutefois ne comporte que des facteurs premiers à la puissance 1. Peu importent ces facteurs; seuls comptent les exposants.
Essayons la forme générale de n, mais par une autre approche. Soit donc :
n = 2a3b5c161d673e
On voit que p et q sont égalisables par n ssi :
(a+2) (c+2) (d+2) (b+1) (e+1) = (a+1) (c+1) (d+1) (b+2) (e+2)
Soit encore, en posant A = (a+2) / (a+1); B = (b + 2) / (b +1), etc. ssi :
ACD = BE.
Or les nombres ABCDE sont des fractions de type 2/1, 3/2… (k+1) / k. Peut-on avoir ACD = BE avec de tels nombres?
Essayons un cas particulier. Faisons a = b = 0, d'où A = B = 2. Le problème se ramène à trouver C, D, E tels que CD = E.
Essayons C = 3/2 et D = 4/3. Il faut que E = 4/2 = 2. Soit donc :
a = 0 b = 0 c = 1 d = 2 e = 0
Sauf erreur donc, n = 5×161² = 129605 égalise p = 2×5×161 et q = 3×673.
Vérification
d(pn) = d(2×5²×1613) = 2×3×4 = 24 d(qn) = d(3×673×5×161²) = 2×2×2×3 = 24
n = 129605 est un égalisateur de p = 1610 et q = 2019 Remarque
Nous avons relevé plus haut que peu importent les facteurs; seuls comptent les exposants. Il en résulte que, quels que soient p et q avec 2 et 3 facteurs premiers simples, p et q sont égalisables.
3ème cas : p = 1961 et q = 84323
p = 1961 = 37 × 53 d(1961) = 4 q = 84323 = 37 × 2279 d(84323) = 4
p et q sont déjà égalisés; il est dépourvu de sens de leur chercher un égalisateur. À toutes fins utiles, tout nombre n premier avec 53 et 2279 en est un égalisateur.
