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On rappelle qu'en cas d'ambiguïté, l'implication → est associative à droite ; par exemple, p → q → r signie p → (q → r) .

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Texte intégral

(1)

Université Paris Diderot - Licence 3 Année 2011-2012

TD de Logique n

o

3

Systèmes à la Hilbert

On rappelle qu'en cas d'ambiguïté, l'implication → est associative à droite ; par exemple, p → q → r signie p → (q → r) .

N'oubliez pas : un théorème, une fois prouvé, peut être utilisé comme axiome dans les démon- strations suivantes.

Exercice 1 Donnez des dérivations des faits suivants : 1. `

H→

p → p

2. `

H→

p → q → q

Exercice 2 Dérivez les faits suivants en vous aidant du théorème de la déduction : 1. `

H→

p → p

2. `

H→

(p → q) → (q → r) → p → r Exercice 3

1. Soit H

→+

le système H

→

augmenté de la règle suivante : A → B → C B → A → C Montrez que ∆ `

H→

P si et seulement si ∆ `

H+

→

P . 2. Déduisez-en que `

H→

(p → q) → (r → p) → r → q.

3. Montrez aussi que `

H→

(p → p → q) → p → q, sans utiliser le théorème de la déduction.

Exercice 4

1. Montrez que `

Hprop

((p ∧ q) → r) → (p → q → r) . Qu'en est-il de la propriété réciproque ? 2. Montrez que `

Hprop

p → ¬¬p .

3. Montrez que `

Hprop

¬(p ∨ q) → ¬p. Qu'en est-il de la propriété réciproque ?

4. Montrez que `

Hprop

¬(p ∨ q) → (¬p ∧ ¬q). Qu'en est-il de la propriété réciproque ?

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