A4902 − La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution par Patrick Gordon
Les petits triangles rectangles sont tous homothétiques du triangle rectangle ABC.
Ceux en A et C le sont dans le rapport 1/q et leurs périmètres sont donc égaux à celui du triangle rectangle ABC divisé par q.
Les autres vont par paires de part et d'autre d'une ligne horizontale et la somme des périmètres des triangles d'une paire donnée est égale, elle aussi, au périmètre du triangle rectangle ABC divisé par q.
Notons n le nombre de carrés de côté unité coupés par la diagonale AC sur leur base (ceux en A et C notamment sont donc exclus).
Ils sont aussi nombreux que les lignes horizontales intermédiaires que la diagonale AC doit traverser (car cette diagonale ne peut traverser une telle ligne qu'en un seul carré), donc n = p – 1.
Les petits triangles rectangles dont il faut additionner les périmètres sont donc au nombre de p+1.
On veut que (p+1) / q = 1/3, soit encore :
q = 3(p+1)
On notera que p et q sont alors bien premiers entre eux, sauf si p divise 3, c’est-à-dire p = 3.
Par ailleurs, puisque la somme des périmètres est un nombre entier, le triangle ABC doit être pythagoricien (et son périmètre doit être multiple de 3).
Le premier triplet pythagoricien primitif p, q, r qui réponde à la question est 7, 24, 25, mais le périmètre de ABC est alors 7+24+25 = 56, qui n'est pas divisible par 3.
Faute de disposer d'une table des triplets pythagoriciens primitifs qui "aille assez loin", on peut essayer une autre méthode.
Le périmètre de ABC est p + q + √(p²+q²). Il doit être rationnel et multiple de 3.
Une première condition est donc que p²+q² = 10p² + 18p + 9 soit un carré parfait. Par ailleurs, on doit avoir p+q ≤ 1009, donc p ≤ 251.
On trouve une solution unique en dehors de p = 7, déjà vu et qui ne convient pas :
p = 155 q = 468
périmètre ABC = 1116
On vérifie que p et q sont bien premiers entre eux et que le périmètre du triangle ABC est bien entier multiple de 3.
