Le théorème direct 2 Vocabulaire du triangle rectangle 1

• Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

• Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.

C’est le plus grand côté du triangle.

Exemple :

• DEF est un triangle rectangle en F.

• [DE] est l’hypoténuse : c'est le plus grand côté du triangle rectangle.

• Les deux autres côtés [EF] et [DF] sont perpendiculaires.

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A d’hypoténuse [BC].

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB²  AC².

Calcul de la longueur de l'hypoténuse

Exemple : Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm et LM = 10 cm. Calcule KM.

Figure à main levée : Le triangle KLM est rectangle en L, son hypoténuse est le côté [KM].

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : KM² = LK²  LM²

KM² = 24²  10² KM² = 576  100 KM² = 676

KM =

√

KM = 26 cm (valeur exacte)

Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

Exemple : Soit NPR un triangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et NR = 6 cm. Calcule NP.

Figure à main levée : Le triangle NPR est rectangle en N, son hypoténuse est le côté [PR].

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : PR² = NP²  NR²

7² = NP²  6² NP² = 7² − 6² NP² = 49 − 36 NP² = 13

NP =

√

NP ≈ 3,6 cm (valeur approchée au dixième) G1 • Théorème de Pythagore

96

A

13

Théorème Définitions

Vocabulaire du triangle rectangle

1

Le théorème direct

2

K L

M

10 cm

24 cm

?

R N

P 7 cm

6 cm

?

B

C

C

A

B E

F

D

Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Exemple : STU est un triangle tel que ST = 9,5 cm, TU = 9,2 cm et SU = 2,3 cm.

Démontre que STU n'est pas un triangle rectangle.

Figure à main levée : Le plus grand côté est [ST] donc on calcule séparément : ST² et TU²  SU²

= 9,5² = 9,2²  2,3²

= 90,25 = 84,64  5,29

= 89,93 ST²  TU²  SU²

On en déduit donc que le triangle STU n'est pas rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Exemple :

ABC est un triangle tel que BC² = AB²  AA ².

Donc, d'après le théorème réciproque de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.

Son hypoténuse est le plus grand côté, c'est-à-dire [BC].

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Exemple : DEF est un triangle tel que DE = 3 cm, EF = 5 cm et DF = 4 cm.

Démontre que DEF est un triangle rectangle.

Figure à main levée : Le plus grand côté est [EF], donc on calcule séparément : EF² et DE²  DF²

= 5² = 3²  4²

= 25 = 9  16

= 25 EF² = DE²  DF²

On en déduit donc, d’après le théorème réciproque de Pythagore, que le triangle DEF est rectangle en D.

Théorème de Pythagore • G1

97

Le théorème réciproque

3

A

Théorème

C

A B

B D

F

D

5 cm E

4 cm 3

cm S

T

U 2,3 cm

9,5 cm cm 9,2