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D20615. Carrés inscrits Dans ce triangle rectangle, je peux inscrire a/ un carré de côté d

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Academic year: 2022

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D20615. Carrés inscrits

Dans ce triangle rectangle, je peux inscrire

a/ un carré de côtéd, dont un angle droit est superposé à celui du triangle, le sommet opposé du carré étant sur l’hypoténuse ;

b/ un carré de côté e, ayant un côté sur l’hypoténuse et un sommet sur chacun des autres côtés du triangle.

Déduire dedeteles dimensions du triangle.

Application numérique :d= 25, e= 24.

Solution

Dans le triangleOAB(angle droit enO), d’hypoténusec, les côtés de l’angle droit sonta=csinAetb=ccosA. Par rapport aux axesOAB, l’hypoténuse a l’équationx/a+y/b= 1 et contient le point (d, d), d’où

d=ab/(a+b) =csinAcosA/(sinA+ cosA).

Le carré de côté e détermine sur l’hypoténuse trois segments e, etanA, ecotAde somme c=e(1 + sinAcosA)/(sinAcosA).

On en tirec2/e2c2/d2= 1, d’où c=de/

d2e2. Puis

2 cos(π/4−A) = sinA+ cosA=csinAcosA/d=ce/(dcde), etA= π

4 ±arccosd+√ d2e2 e

2 .

Application numérique :c= 600/7,A=π/4±arcsin(1/3), et les côtés sont (4±√

2)100/7.

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