D20615. Carrés inscrits
Dans ce triangle rectangle, je peux inscrire
a/ un carré de côtéd, dont un angle droit est superposé à celui du triangle, le sommet opposé du carré étant sur l’hypoténuse ;
b/ un carré de côté e, ayant un côté sur l’hypoténuse et un sommet sur chacun des autres côtés du triangle.
Déduire dedeteles dimensions du triangle.
Application numérique :d= 25, e= 24.
Solution
Dans le triangleOAB(angle droit enO), d’hypoténusec, les côtés de l’angle droit sonta=csinAetb=ccosA. Par rapport aux axesOAB, l’hypoténuse a l’équationx/a+y/b= 1 et contient le point (d, d), d’où
d=ab/(a+b) =csinAcosA/(sinA+ cosA).
Le carré de côté e détermine sur l’hypoténuse trois segments e, etanA, ecotAde somme c=e(1 + sinAcosA)/(sinAcosA).
On en tirec2/e2−c2/d2= 1, d’où c=de/√
d2−e2. Puis
√
2 cos(π/4−A) = sinA+ cosA=csinAcosA/d=ce/(dc−de), etA= π
4 ±arccosd+√ d2−e2 e√
2 .
Application numérique :c= 600/7,A=π/4±arcsin(1/3), et les côtés sont (4±√
2)100/7.